Марківський момент часу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Момент зупину або Марківський момент часу в теорії випадкових процесів — це випадкова величина, яка не залежить від майбутнього розглянутого випадкового процесу.

Дискретний випадок[ред.ред. код]

Визначення[ред.ред. код]

Нехай дана послідовність випадкових величин . Тоді випадкова величина називається марківським моментом (часу), якщо для будь-якого подія залежить тільки від випадкових величин .

Приклад[ред.ред. код]

нехай — послідовність незалежних нормальних випадкових величин. Нехай , і

— момент першого досягнення процесом рівня . Тоді - марківський момент, бо тоді і тільки тоді, коли існує таке, що . Таким чином подія залежить лише від поведінки процесу до моменту часу .

Нехай тепер

— момент останнього досягнення процесом рівня . Тоді не є марківським моментом, бо подія передбачає знання поведінки процесу в майбутньому.

Загальний випадок[ред.ред. код]

Визначення[ред.ред. код]

  • Нехай дано ймовірнісний простір з фільтрацією , де . Тоді випадкова величина , яка приймає значення в називається марківським моментом відносно даної фільтрації, якщо .
  • Якщо дано процес , і - його природні σ-алгебри, то кажуть, що — марківський момент відносно процесу .
  • Марківський момент називається моментом зупинки, якщо він скінченний майже напевно, тобто:.

Властивості[ред.ред. код]

Якщо і — марківські моменти, то

  • — марківський момент;
  • — марківський момент;
  • — марківський момент.

Зауваження[ред.ред. код]

Момент зупинки може не мати скінченного математичного сподівання.

Приклад[ред.ред. код]

Нехай — стандартний вінерівський процес. Нехай . Визначимо

.

Тоді — марківський момент, який має розподіл, що задається щільністю ймовірності

.

Зокрема — момент зупинки. Проте,

.

Контрприклад[ред.ред. код]

Розглянемо пацюка у відкритому лабіринті, в якому пацюк зрештою виходить на свободу і ніколи вже не повертається в лабіринт. Припустимо, що пацюк стартує у комірці 1; Нехай позначає час коли пацюк відвідав комірку 1 востаннє перед тим як покинути лабіринт:

Очевидно, що ви мусимо знати майбутнє, щоб визначити цей час.

Див. також[ред.ред. код]


Статистика Це незавершена стаття зі статистики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.