Многовид Калабі — Яу

Простір Калабі — Яу (многовид Калабі — Яу) — компактний комплексний многовид з келеровою метрикою, для якої тензор Річчі рівний нулю.

Комплексним $n$-вимірним простором Калабі — Яу є $2n$-вимірний ріманів многовид з річчі-плоскою метрикою і з введеною симплектичною структурою.

Названо по іменах математиків Еудженіо Калабі і Яу Шінтана.

Приклади і класифікація

В одновимірному випадку будь-який простір Калабі — Яу є тором $\mathbf {T} ^{2}$, який розглядається як еліптична крива.

Всі двовимірні простору Калабі — Яу є тори $\mathbf {T} ^{4}$ і так звані K3-поверхні. Класифікація в великих розмірностях не завершена, в тому числі в важливому тривимірному випадку.

Дзеркально-симетричний $M'$ многовид для многовиду $M$ Калабі-Яу має симплектичні властивості, які перетворюються у алгебро-геометричні властивості початкового, та навпаки. В рамках теорії Ходжа це значить, що

$h^{p,\,q}(M)=h^{\mathbb {C} -p,\,q}(M').$

Тут $h^{p,q}$ — розмірності просторів $(p,q)$-диференціальних форм — розташовані так, щоб координати $(p,q)$ утворювали сторони ромба, який називається ромбом Ходжа (див. Гомологічна дзеркальна симетрія). Іншими словами, ромби Ходжа $M$ та $M'$ трансформуються один в одного поворотом на $90^{\mathrm {o} }$ (звідси й назва «дзеркальна симетрія»).

Використання в теорії струн

Двовимірна проєкція тривимірної візуалізації простору Калабі — Яу

В теорії струн використовуються тривимірні (з дійсною розмірністю 6) многовид Калабі — Яу, що є шаром компактифікації простору-часу, так що кожній точці чотиривимірного простору-часу відповідає простір Калабі — Яу.

Відомо більш ніж 470 мільйонів тривимірних просторів Калабі — Яу , які задовольняють вимогам до додаткових вимірів, що випливають з теорії струн.

Однією з основних проблем теорії струн є така вибірка із зазначеної підмножини тривимірних просторів Калабі — Яу, яка давала б найбільш адекватне обґрунтування кількості і складу всіх відомих частинок. Феномен свободи вибору просторів Калабі — Яу і виникнення в зв'язку з цим в теорії струн величезної кількості помилкових вакуумів відомий як проблема ландшафту теорії струн. При цьому, якщо теоретичні розробки в цій області призведуть до виділення єдиного простору Калабі — Яу, що задовольняє всім вимогам для додаткових вимірів, це стане дуже вагомим аргументом на користь істинності теорії струн .

Література

• Calabi, Eugenio (1954), The space of Kähler metrics, Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam, с. 206—207
• Calabi, Eugenio (1957), On Kähler manifolds with vanishing canonical class, Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton University Press, с. 78—89, MR0085583
• Tian, Gang; Yau, Shing-Tung (1990), Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, I, Amer. Math. Soc., 3 (3): 579—609, doi:10.2307/1990928
• Tian, Gang; Yau, Shing-Tung (1991), Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, II, Invent. Math., 106 (1): 27—60, doi:10.1007/BF01243902
• Yau, Shing Tung (1978), On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I, Communications on Pure and Applied Mathematics, 31 (3): 339—411, doi:10.1002/cpa.3160310304, ISSN 0010-3640, MR480350