Нерівність Чебишова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Для нерівності для наборів чисел — див. Нерівність Чебишова для сум чисел.

Нерівність Чебишова — результат теорії ймовірностей, який стверджує, що для будь-якої випадкової величини із скінченною дисперсією майже всі значення концентруються біля значення математичного сподівання. Нерівність Чебишева дає кількісні характеристики цієї властивості.

Теорема[ред.ред. код]

Нехай є випадковою величиною із математичним сподіванням і дисперсією . Тоді для всякого виконується нерівність:

Нам цікавий лише випадок з Коли права частина і нерівність стає тривіальною, бо імовірність неперевищує 1.

Наприклад, використовуючи показуємо, що ймовірність того., що значення лежить поза проміжком не перевищує .

Тому що нерівність можна застосувати до будь-яких розподілів якщо вони мають відоме середнє значення і дисперсію, нерівність зазвичай дає слабку оцінку в порівнянні з ситуацією коли відомо більше даних про розподіл.

Мін. % в стандартних   
відхилень від середнього
Макс. % поза стандартних   
відхилень від середнього
1 0% 100%
2 50% 50%
1.5 55.56% 44.44%
2 75% 25%
3 88.8889% 11.1111%
4 93.75% 6.25%
5 96% 4%
6 97.2222% 2.7778%
7 97.9592% 2.0408%
8 98.4375% 1.5625%
9 98.7654% 1.2346%
10 99% 1%

Доведення[ред.ред. код]

Нехай  - функція розподілу змінної . Тоді:

Звідси одержуємо,

З того, що одержуємо твердження теореми.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, «Probability, Random Variables and Stochastic Processes», Fourth edition, McGraw-Hill, 2002