Дисперсія випадкової величини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Диспе́рсія (англ. Variance) є мірою відхилення значень випадкової величини від центру розподілу. Більші значення дисперсії свідчать про більші відхилення значень випадкової величини від центру розподілу.

Вступ[ред.ред. код]

Приклади[ред.ред. код]

Дисперсія випадкової величини є одним з параметрів розподілу ймовірностей —це середньоквадратичне відхилення від середнього значення. Інакше кажучи, це математичне сподівання піднесеного до другого ступеня відхилення цієї змінної від її очікуваного значення (її математичного сподівання). Отже дисперсія є вимірюванням величини розпорошеності значень цієї змінної, беручи до уваги всі її значення і їхні ймовірності або ваги.

Наприклад, якщо підкинути ідеальний гральний кубик, то очікування значення буде:

Очікуване абсолютне відхилення таке:

Але очікуване квадратичне відхилення таке:

Якщо монету підкинути двічі, кількість аверсів становить: 0 з імовірністю 0.25, 1 з імовірністю 0.5 і 2 з імовірністю 0.25. Отже, очікування кількості аверсів таке:

і дисперсія така:

Означення[ред.ред. код]

Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання (середнього значення). Дисперсія є центральним моментом другого порядку.[1]

Нехай випадкова змінна може набувати значення відповідно з ймовірностями причому .

,

де

і називається стандартним відхиленням величини від її середнього значення ;
 — це оператор дисперсії випадкової величини.
,

де

, тобто це середнє значення величини ;
 — функція густини імовірності.

Твердження[ред.ред. код]

  • Якщо є дискретна випадкова величина , сума ймовірностей значень якої менше одиниці, тобто , то дисперсія такої величини визначається так:[3]
.

Теореми[ред.ред. код]

  • Дисперсія являє собою різницю математичного очікування квадрата випадкової величини і квадрата середнього значення цієї величини:[2]
.
  • Теорема Чебишова: Ймовірність будь-якої випадкової величини , яка набуває значення в границях стандартних відхилень від середнього значення , не менше , тобто[4]
.
  • Закон додавання дисперсій: Дисперсія суми дискретних випадкових величин дорівнює алгебраїчній сумі значень коваріаційної матриці системи цих величин:[5]

Властивості[ред.ред. код]

  • Дисперсія сталої величини дорівнює нулю, тобто , де .
  • Додавання константи до значень випадкової величини не змінює дисперсії: .
  • Константу можна виносити в квадраті за знак дисперсії: .
  • Дисперсія випадкової змінної є невід'ємною величиною, тобто .

Джерела інформації[ред.ред. код]

  1. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. (1965). Курс теории вероятности и математической статистики. Москва: Наука. 
  2. а б T. T. Soong (2004). Fundamentals of Probability and Statistics for Engineers. Wiley. ISBN 0-470-86813-9. 
  3. Пряха Б. Г. Про числові характеристики результатів вимірювань // Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування — Європейський досвід. — Чернігів: ЧДІЕУ, 2008. — С. 97-108. — ISBN 978-966-2188-04-2.
  4. Walpole Roland E., Myers Raymond H. Probability and Statistics for Engineers and Scientists. — 3-th. edition, Macmillan Publishing Company. — New York, 1985. — 639 p. — ISBN 0-02-424170-9.
  5. Пряха Б. Про зв'язок дисперсій та коваріацій // Геодезія, картографія і аерофотознімання. — Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка». — 2009. — Вип. 71. — С. 262–271.

Див. також[ред.ред. код]

Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.