Дисперсія випадкової величини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Диспе́рсія (англ. Variance) є мірою відхилення значень випадкової величини від центру розподілу. Більші значення дисперсії свідчать про більші відхилення значень випадкової величини від центру розподілу.

Вступ[ред.ред. код]

Приклади[ред.ред. код]

Дисперсія випадкової величини є одним з параметрів розподілу ймовірностей —це середньоквадратичне відхилення від середнього значення. Інакше кажучи, це математичне сподівання піднесеного до другого степеня відхилення цієї змінної від її очікуваного значення (її математичного сподівання). Отже дисперсія є вимірюванням величини розпорошеності значень цієї змінної, беручи до уваги всі її значення і їхні ймовірності або ваги.

Наприклад, підкинувши ідеальну шестисторонню кістку,отримаємо таке очікування:

\frac 16(1+2+3+4+5+6)=3.5.

Очікуване абсолютне відхилення таке:

\frac 16(|1-3.5|+|2-3.5|+|3-3.5|+|4-3.5|+|5-3.5|+|6-3.5|)=\frac 16(2.5+1.5+ 0.5+0.5+1.5+2.5)=1.5.

Але очікуване квадратичне відхилення таке:

\frac 16 (2.5^2+1.5^2+0.5^2+0.5^2+1.5^2+2.5^2)=17.5/6\approx 2.9.

Якщо монету підкинути двічі, кількість іверсів становить: 0 з імовірністю 0.25, 1 з імовірністю 0.5 і 2 з імовірністю 0.25. Отже, очікування кількості аверсів таке:

0.25 \times 0 + 0.5 \times 1 + 0.25 \times 2 = 1,

і дисперсія така:

0.25\times (0-1)^2+0.5\times (1-1)^2+0.25\times (2-1)^2 =0.25+0+0.25 = 0.5.

Означення[ред.ред. код]

Дисперсією випадкової величини X називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання (середнього значення). Дисперсія є центральним моментом другого порядку. [1]

Нехай випадкова змінна X може набувати значення x_1,x_2,\ldots, відповідно з ймовірностями p(x_1),p(x_2),\ldots, причому \sum_{x} p(x)=1\,.

\sigma^2\equiv\operatorname{D}(X)=\operatorname{E}[(X-\mu)^2]=\sum_{x} (x-\mu)^2p(x),

де

\sigma=\sqrt{\sigma^2}\, і називається стандартним відхиленням величини X від її середнього значення \mu\,;
\operatorname{D} — це оператор дисперсії випадкової величини.
\sigma^2\equiv\operatorname{D}(\xi)=\operatorname{E}[(\xi - \mu)^2] = \int_{X} (x - \mu)^2 p_{\xi}(x) dx,

де

\mu \equiv\operatorname{E}(\xi)=\int_{X} x p_{\xi}(x) dx, тобто це середнє значення величини \xi\,;
p_{\xi}(x)\, — функція густини імовірності.

Твердження[ред.ред. код]

  • Якщо є дискретна випадкова величина X, сума ймовірностей значень якої менше одиниці, тобто \sum_{x} p(x)<1\,, то дисперсія такої величини визначається так:[3]
\sigma^2=\operatorname{D}(X)=\operatorname{E}[(X-\mu)^2]=\frac{\sum_{x} (x-\mu)^2p(x)}{\sum_{x} p(x)}.

Теореми[ред.ред. код]

  • Дисперсія являє собою різницю математичного очікування \operatorname {E}(X^2) квадрата випадкової величини і квадрата середнього значення \mu\, цієї величини:[2]
\sigma^2 = \operatorname{E}(X^2) - \mu^2=\sum_{x} x^2\,p(x)- \mu^2.
  • Теорема Чебишова: Ймовірність будь-якої випадкової величини X\,, яка приймає значення в границях k\, стандартних відхилень від середнього значення \mu\,, не менше 1-\frac{1}{k^2}, тобто [4]
P(\mu-k\sigma<X<\mu+k\sigma)\ge\,1-\frac{1}{k^2}.
  • Закон додавання дисперсій: Дисперсія \sigma^2_{Y} суми Y=X_1+X_2+\dots+X_N дискретних випадкових величин дорівнює алгебраїчній сумі \operatorname{S}_{(K)} значень коваріаційної матриці системи цих величин:[5]
\sigma^2_{Y}\equiv\operatorname{D}(Y)=\operatorname{S}_{(K)}=\sum_{i=1}^{N}\operatorname{D}(X_i)+2\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^{N}\operatorname{Cov}(X_i,X_j).

Властивості[ред.ред. код]

  • Дисперсія сталої величини дорівнює нулю, тобто \operatorname{D}(c)=0, де  c=const\,.
  • Додавання константи до значень випадкової величини не змінює дисперсії: \operatorname{D}(X+c)=\operatorname{D}(X).
  • Константу можна виносити в квадраті за знак дисперсії: \operatorname{D}(c\,X)=c^2\operatorname{D}(X).
  • Дисперсія випадкової змінної є невід'ємною величиною, тобто \operatorname{D}(X)\ge\,0.

Джерела інформації[ред.ред. код]

  1. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. (1965). Курс теории вероятности и математической статистики. Москва: Наука. 
  2. а б T. T. Soong (2004). Fundamentals of Probability and Statistics for Engineers. Wiley. ISBN 0-470-86813-9. 
  3. Пряха Б.Г. Про числові характеристики результатів вимірювань // Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування — Європейський досвід. — Чернігів: ЧДІЕУ, 2008. — С. 97-108. — ISBN 978-966-2188-04-2.
  4. Walpole Roland E., Myers Raymond H. Probability and Statistics for Engineers and Scientists. — 3-th. edition, Macmillan Publishing Company. — New York, 1985. — 639 p. — ISBN 0-02-424170-9.
  5. Пряха Б. Про зв'язок дисперсій та коваріацій // Геодезія, картографія і аерофотознімання. — Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка". — 2009. — Вип. 71. — С. 262-271.

Див. також[ред.ред. код]