Овал Кассіні

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Овали Кассіні (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c)

Ова́л Кассі́ні — геометричне місце точок, добуток відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) сталий і дорівнює квадрату деякого числа .

Окремим випадком овалу Кассіні при фокусній відстані рівній є Лемніската Бернуллі. Сам овал є лемніскатою з двома фокусами.

Крива була запропонована французьким астрономом італійського походження Джованні Кассіні. Він помилково вважав, що вона точніше описує орбіту Землі, ніж еліпс[1]. Хоча цю лінію називають овалом Кассіні, вона не завжди овальна.

Рівняння[ред.ред. код]

Випадок зміни параметру
Випадок зміни параметру

Позначимо відстань між фокусами .

.
  • У явному вигляді рівняння в прямокутних координатах:
.
.

Особливості форми[ред.ред. код]

У рівнянні кривої містяться два незалежних параметри:  — половина відстані між фокусами і  — добуток відстаней від фокусів до будь-якої точки кривої. З точки зору форми найсуттєвішим є відношення параметрів, а не їх величини, які при сталому відношенні визначають лише розмір фігури. Можна виділити шість різновидів форми залежно від величини відношення :

  • , тобто при .
Крива вироджується до двох точок, що збігаються з фокусами. При форма кривої прямує до двох точок.
  • , тобто
Крива розпадається на два окремих овали, кожний з яких витягнений у напрямі іншого і за формою нагадує яйце.
  • , тобто
Права частина рівняння в прямокутних координатах (див. вище) перетворюється в нуль, і крива стає лемніскатою Бернуллі.
  • , тобто
У кривої з'являються чотири симетричні точки перегину (по одній у кожній координатній чверті). Кривина в точках перетину з віссю прямує до нуля, коли прямує до і до нескінченності, коли прямує до .
  • , тобто
Крива стає овалом, тобто опуклою замкнутою кривою.
  • , тобто при
Із збільшенням (коли відношення прямує до нуля) крива прямує до кола радіусом . Якщо , то відношення досягає нуля, і в цьому випадку крива вироджується у коло.

Властивості[ред.ред. код]

Чорне коло — множина максимумів і мінімумів; синя лемніската — множина точок перегину
  • Овал Кассіні — алгебраїчна крива четвертого порядку.
  • Вона є симетричною відносно середини відрізка між фокусами.
  • При має два абсолютних максимуми і два мінімуми:
Геометричне місце точок абсолютних максимумів і мінімумів — коло радіусом з центром посередині відрізка між фокусами.
  • При крива має чотири точки перегину. Їх полярні координати:
Геометричне місце точок перегину — лемніската з вершинами .

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]