Ознака Раабе

Ознака Раабе (ознака Раабе — Дюамеля) — ознака збіжності числових рядів з додатніми членами. Встановлена Йозефом Людвігом Раабе і незалежно від нього — Жан-Марі Дюамелем.

Формулювання

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ збіжний, якщо при достатньо великих $n$ виконується нерівність $R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)\geqslant r,$ де $r>1$. Якщо $R_{n}<1$, починаючи з деякого $n$, то ряд $a_{n}$ розбіжний.

Формулювання у граничній формі

Якщо існує границя: $R=\lim _{n\to \infty }R_{n}$ то при $R>1$ ряд збіжний, а при $R<1$ — розбіжний.

Зауваження. Якщо $R=1$, то ознака Раабе не дає відповіді на питання про збіжність ряду.

Доведення

Доведення базується на використанні узагальненої ознаки порівняння при порівнянні з узагальненим гармонічним рядом.

Див. також

• Ознака д'Аламбера — аналогічна ознака, що базується на відношенні сусідніх членів.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Weisstein, Eric W. Ознака Раабе(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.