Радикальна ознака Коші

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Радикальна ознака Коші — ознака збіжності числового ряда:

Якщо для числового ряда

з невід'ємними членами існує таке число , , що, починаючи з деякого номера, виконується нерівність то даний ряд збіжний.

Гранична форма[ред.ред. код]

Умова радикальної ознаки рівносильно наступному:

Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатнього ряду у граничній формі:

Якщо для ряду

, то
якщо ряд збігається,
якщо ряд розбігається.

Доведення[ред.ред. код]

1. Нехай . Очевидно, що існує таке , що . Оскільки існує границя , то підставивши в означення границі вибране одержимо:

Розкривши модуль, одержимо:

Оскільки , то ряд збігається. Тоді за ознакою порівняння ряд теж збігається.

2. Нехай . Очевидно, що існує таке , що . Оскільки існує границя , то підставивши в означення границі вибране одержимо:

Розкривши модуль, одержимо:

Оскільки , то ряд розбіжний. Тоді за ознакою порівння ряд теж розбіжний.

Приклади[ред.ред. код]

1. Ряд

збіжний, оскільки виконується умова граничної форми радикальної ознаки

2. Розглянемо ряд

ряд збіжний

Див. також[ред.ред. код]