Функціональний ряд

Функціональний ряд — ряд, кожен член якого є деякою функцією від однієї чи багатьох незалежних змінних.

Сума вигляду

$u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots +u_{k}(x)+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x).$

називається функціональним рядом відносно незалежної змінної $x$, а

послідовність функцій $\{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,$ відповідно — функціональною послідовністю.

Важливе значення у математиці мають функціональні ряди спеціального вигляду, такі як степеневі, коли функція $u_{k}(x)=a_{k}(x-x_{0})^{k},x_{0},a_{k}\in \mathbb {R} ,$ (зокрема, ряд Тейлора та ряд Лорана) та тригонометричні ряди, $u_{k}(x)=a_{k}\sin(kx)+b_{k}\cos(kx),a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} ,$ (наприклад, ряд Фур'є).

Функціональна послідовність

Нехай задана послідовність функцій $\{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,$ (взагалі кажучи комплекснозначних) на деякій підмножині $D$ евклідового простору $\mathbb {R} ^{n}$.

$u_{k}(x):D\mapsto \mathbb {C} ,\quad D\subseteq \mathbb {R} ^{n},~~k\in \mathbb {N} .$

Поточкова збіжність

Функціональна послідовність $\{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,$ збігається в точці $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, якщо, відповідно збігається числова послідовність $\{{u_{k}}(x_{0})\},k\in \mathbb {N} ,$, тобто існує $\lim \nolimits _{k\rightarrow \infty }u_{k}(x_{0})=u_{0}.$ Очевидно, що ця границя залежить від вибору точки $x_{0}$, тобто є деякою функцією.

Функціональна послідовність $\{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,$ збігається поточково на множині $D$ до функції $u(x)$, якщо вона збігається в кожній точці цієї множини. Іншими словами

$\forall x\in D\;\;\;\exists \lim _{k\rightarrow \infty }u_{k}(x)=u(x).$

Рівномірна збіжність

Функціональна послідовність $\{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,$ збігається рівномірно на множині $D$ до функції $u(x)$, якщо

$\lim _{k\rightarrow \infty }\sup \mid u_{k}(x)-u(x)\mid \longrightarrow 0,~~x\in D.$

Факт рівномірної збіжності послідовності $\ \{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,$ до функції $u(x)$ записується так: $u_{k}(x)\rightrightarrows u(x)$.

Критерій Коші рівномірної збіжності функціональної послідовності

Функціональна послідовність $\{u_{k}(x)\}$ є рівномірно збіжною на множині $D$ тоді і тільки тоді, коли

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\quad \forall m,n:m,n>N\quad |u_{n}(x)-u_{m}(x)|<\varepsilon .$

Справедливі такі твердження: а) Якщо $u_{k}(x)\rightrightarrows u(x)$, $v_{k}(x)\rightrightarrows v(x)$ на $D$, то $(u_{k}(x)\pm v_{k}(x))\rightrightarrows (u(x)\pm v(x))$;

б) Якщо $u_{k}(x)\rightrightarrows u(x)$, а $g(x):D\rightarrow \mathbb {R}$ — обмежена функція, то $g(x)u_{k}(x)\rightrightarrows g(x)u(x)$.

Приклади  

Приклад 1. Послідовність функцій

$u_{k}(x)={\frac {x}{1+n^{2}x^{2}}}$

рівномірно збігається до функції $u(x)\equiv 0$ на відрізку $[0,1]$.

Очевидно, що для кожного фіксованого ${\tilde {x}}\in [0,1]$ відповідна числова послідовність $u_{k}({\tilde {x}})\rightarrow 0$ при $k\rightarrow \infty$, тобто $u_{k}(x)\rightarrow 0$ поточково на $[0,1]$. Покажемо, що ця збіжність є і рівномірною.

Дійсно, оскільки кожна з функцій $u_{k}(x)$ є неперервною на $[0,1]$, то

$\sup _{x\in [0,1]}|u_{k}(x)-u(x)|=\sup _{x\in [0,1]}|u_{k}(x)|=\max _{0\leq x\leq 1}|u_{k}(x)|.$

Щоб обчислити цей максимум знайдемо критичні точки функції $u_{k}(x)$

$u_{k}^{\prime }(x)={\frac {1+n^{2}x^{2}-x\cdot 2n^{2}x}{(1+n^{2}x^{2})^{2}}}={\frac {1-n^{2}x^{2}}{(1+n^{2}x^{2})^{2}}}=0.$

Звідки $x=1/n$. Тоді

$\max _{0\leq x\leq 1}|u_{k}(x)|=\max\{u_{k}(0),u_{k}(1/n),u_{k}(1)\}=\max \left\{0,{\frac {1}{2n}},{\frac {1}{1+n^{2}}}\right\}={\frac {1}{2n}}\rightarrow 0,n\rightarrow \infty .$

Звідси випливає, що $u_{k}(x)\rightrightarrows u(x)$.

Приклад 2. Послідовність функцій

$u_{k}(x)={\frac {nx}{1+n^{2}x^{2}}}$

збігається поточково до функції $u(x)\equiv 0$ на відрізку $[0,1]$, але не рівномірно.

Поточкова збіжність цієї послідовності є очевидною. З іншого боку міркуючи аналогічно, як у попередньому прикладі та враховуючи, що

$u_{k}^{\prime }(x)={\frac {n(1+n^{2}x^{2})-nx\cdot 2n^{2}x}{(1+n^{2}x^{2})^{2}}}={\frac {n(1-n^{2}x^{2})}{(1+n^{2}x^{2})^{2}}},$

отримуємо

$\sup _{x\in [0,1]}|u_{k}(x)-u(x)|=u_{k}(1/n)={\frac {1}{2}}\neq 0,\quad \forall k\in \mathbb {N} .$

Отже збіжність не є рівномірною.

Функціональний ряд

Нехай $S_{n}(x)=\sum \nolimits _{k=1}^{n}u_{k}(x)$ — n-на частинна сума ряду $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$, $x\in D\subset \mathbb {R}$.

Збіжність функціональних рядів

Ряд збігається поточково до функції $S(x)$, якщо послідовність $\{S_{n}(x)\},n\in \mathbb {N} ,$ його частинних сум збігається поточково до $S(x)$.

Ряд збігається рівномірно, якщо послідованість $S_{n}(x)$ його частинних сум збігається рівномірно, $S_{n}(x)\rightrightarrows S(x)$.

Функція $S(x)$ називається сумою ряду $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$,

$S(x)=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x).$

Множина тих точок $E\subset D$, для яких ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ збігається, називається областю збіжності ряду.

Зв'язок між рівномірною та поточковою збіжністю функціонального ряду

Якщо ряд є рівномірно збіжним у деякій області, то він, очевидно, є поточково збіжним у цій області. Навпаки невірно.

Твердження 1. Поточково збіжний функціональний ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ є рівномірно збіжним на $D$ тоді і тільки тоді, коли

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n:n>N\quad \forall x\in D\quad \left|\sum _{k=n+1}^{\infty }u_{k}(x)\right|<\varepsilon .$

або, що те саме

$\lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{x\in D}\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }u_{k}(x)\right|=0.$

Приклад  

Ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }x^{k-1}$ збігається поточково на множині $[0,1)$ і

$\sum _{k=1}^{\infty }x^{k-1}={\frac {1}{1-x}}.$

Остання формула є не що інше як сума нескінченно спадної геометричної прогресії.

Однак, з твердження 1 випливає, що ця збіжність не є рівномірною

$\sup _{x\in [0,1)}\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }x^{k-1}\right|=\sup _{x\in [0,1)}\left|x^{n}\sum _{k=1}^{\infty }x^{k-1}\right|=\sup _{x\in [0,1)}\left|{\frac {x^{n}}{1-x}}\right|\geqslant \left.{\frac {x^{n}}{1-x}}\right|_{x=1-1/n}=n\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}\rightarrow \infty ,n\rightarrow \infty .$

Зауважимо, що на будь-якому відрізку $[0,1-\varepsilon ],0<\varepsilon <1$ цей ряд збігається рівномірно.

Необхідна умова рівномірної збіжності

Для того, щоб ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ збігався рівномірно на $D$ необхідно, щоб $u_{k}(x)\rightrightarrows 0$ на $D$ при $k\rightarrow \infty$.

Критерій Коші рівномірної збіжності функціонального ряду

Ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ є рівномірно збіжним на $D$ тоді і тільки тоді, коли

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n:n>N\quad \forall p\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\quad \left|\sum _{k=n}^{n+p}u_{k}(x)\right|<\varepsilon .$

Абсолютно та умовно збіжні ряди

Ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ називається абсолютно збіжним на $D$, якщо для будь-якого $x\in D$ ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }|{u_{k}}(x)|$ збігається.

Довільна перестановка членів абсолютно збіжного ряду не впливає на його суму.

Якщо ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ збігається, а $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }|u_{k}(x)|$ — розбіжний, то ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ називається умовно збіжним. Для таких рядів справделива Теорема Рімана про умовно збіжний ряд.

Ознаки рівномірної збіжності функціонального ряду

Ознака порівняння та ознака Вейєрштрасса

Нехай

1) ряди $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ та $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }v_{k}(x)$ такі, що $|u_{k}(x)|\leqslant v_{k}(x)$ для всіх $x\in D$;

2) ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }v_{k}(x)$ рівномірно збіжний на $D$.

Тоді ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ абсолютно та рівномірно збіжний на $D$.

Ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }v_{k}(x)$ називається мажоруючим рядом по відношенню до ряду $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$.

Наслідок (мажорантна ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності ряду)

Якщо члени функціонального ряду $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ задовольняють умову

$\forall x\in D\quad \forall k\in \mathbb {N} \quad |u_{k}(x)|\leqslant c_{k},\quad c_{k}\in \mathbb {R} ,$

причому

$\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}<+\infty ,$

то цей ряд є абсолютно та рівномірно збіжним на $D$.

Приклад  

Ряд

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}$

збігається абсолютно та рівномірно на всій числовій прямій, оскільки для будь-якого $x\in \mathbb {R}$ виконуються нерівності

$\left|{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}\right|\leqslant {\frac {1}{n^{2}}},\qquad \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}<\infty .$

Ознака Діріхле

Нехай функції $u_{k}(x)$ та $v_{k}(x),k\in \mathbb {N} ,$ визначені на множині $D$, причому

1) послідовність частинних сум $S_{n}(x)=\sum \nolimits _{k=1}^{n}u_{k}(x)$ обмежена, тобто

$\exists M>0\quad \forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\qquad \left|\sum _{k=1}^{n}u_{k}(x)\right|\leqslant M;$

2) послідовність функцій $\{v_{k}(x)\},k\in \mathbb {N} ,$ монотонна, тобто $v_{k}(x)\geqslant v_{k+1}(x)$ для всіх $x\in D$ , та $v_{k}(x)\rightrightarrows 0$.

Тоді ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)v_{k}(x)$ рівномірно збіжний на множині $D$.

Ознака Абеля

Нехай

1) ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ рівномірно збігається на $D$;

2) послідовність $\{v_{k}(x)\},k\in \mathbb {N} ,$ монотонна та обмежена на $D$, тобто

$\exists M>0\quad \forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\qquad \left|v_{k}(x)\right|\leqslant M.$

Тоді ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)v_{k}(x)$ рівномірно збіжний на множині $D$.

Властивості рівномірно збіжних функціональних послідовностей та рядів

Неперервність

Теорема 1. (про граничний перехід)

Нехай $u_{k}(x)\rightrightarrows u(x)$ на деякому проміжку $(a,b)\subseteq \mathbb {R}$ та існує скінченна границя

$\lim _{x\rightarrow c}u_{k}(x)=c_{k},\quad k=1,2,\ldots ,$

Тоді послідовність $\{c_{k}\}$ збіжна і

$\lim _{x\rightarrow c}u(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }c_{k}.$

Іншими словами

$\lim _{k\rightarrow \infty }\left(\lim _{x\rightarrow c}u_{k}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow c}\left(\lim _{k\rightarrow \infty }u_{k}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow c}u(x).$

Наслідок

Границя рівномірно збіжної послідовності неперервних функцій є неперервною функцією.

Теорема 2. (про неперервність суми функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ рівномірно збігається на множині $D$ до функції $S(x)$, а його члени $u_{k}(x)$ — неперервні на цій множині функції, то його сума $S(x)$ є неперервною на $D$ функцією, тобто

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}S(x)=S(x_{0})=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x_{0})=\sum _{k=1}^{\infty }\left(\lim _{x\rightarrow x_{0}}u_{k}(x)\right).$

Теорема Діні

Нехай $-\infty <a<b<+\infty$. Якщо послідовність $\{u_{k}\}$ неперервних на $[a,b]$ функцій при кожному $x\in [a,b]$ незростаюча (або неспадна) і збігається поточково до $u(x)$, де $u(x)$ неперервна на $[a,b]$, то така збіжність є рівномірною.

Наслідок

Якщо ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ збігається (поточково) на відрізку $[a,b]$ до неперервної функції $S(x)$, а функції $u_{k}(x)$ — неперервні, причому $u_{k}(x)>0$ для всіх $x\in [a,b]$, то ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ збігається рівномірно на $[a,b]$ до функції $S(x)$.

Інтегрування

Теорема 3. (про граничний перехід під знаком інтеграла)

Нехай $-\infty <a<b<+\infty$. Якщо послідовність $\{u_{k}(x)\}$ інтегровних за Ріманом (Лебегом) на $[a,b]$ функцій рівномірно збігається до функції $u(x)$, то функція $u(x)$ інтегровна за Ріманом (Лебегом) і

$\int \limits _{a}^{b}u(x)dx=\lim _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{a}^{b}u_{k}(x)dx.$

Для інтеграла в сенсі Лебега встановлено загальніший результат, який не має аналогу для інтеграла Рімана, а саме — Теорема Лебега про мажоровану збіжність.

Теорема 4. (про інтегрування функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ рівномірно збігається на відрізку $[a,b]$ до функції $S(x)$, а його члени $u_{k}(x)$ — неперервні на цьому відрізку функції, то

$\int \limits _{a}^{b}\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)dx=\int \limits _{a}^{b}S(x)dx=\sum _{k=1}^{\infty }\left(\int \limits _{a}^{b}u_{k}(x)dx\right).$

Диференціювання

Теорема 5. (про диференціювання під знаком границі)

Нехай $-\infty <a<b<+\infty$. Якщо послідовність $\{u_{k}(x)\}$ неперервно диференційовних на відрізку $[a,b]$ функцій є поточково збіжною до функції $u(x)$, а послідовність їх похідних $\{u_{k}^{\prime }(x)\}$ — рівномірно збіжною на $[a,b]$ до деякої функції $g(x)$, то функція $u(x)$ є неперервно диференційовною на $[a,b]$, а її похідна дорівнює границі послідовності похідних

$\forall x\in [a,b]\quad u^{\prime }(x)=g(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }u_{k}^{\prime }(x).$

Теорема 6. (про диференціювання функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$, у якому функції $u_{k}(x)$ — неперервно диференційовні на відрізку $[a,b]$, збігається хоча б в одній точці $x_{0}\in [a,b]$, а ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}^{\prime }(x)$ — рівномірно збігається на $[a,b]$, то ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ також рівномірно збігається на $[a,b]$ до функції $S(x)$, причому

$\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)^{\prime }=S^{\prime }(x)=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}^{\prime }(x).$

Збіжність у середньому функціональних послідовностей

При дослідженні питання про інтегрування функціональних рядів, зокрема ряду Фур'є використовується поняття збіжності у середньому.

Нехай кожна функція $u_{k}(x)$ функціональної послідовності $\{u_{k}(x)\}$ і функція $u(x)$ інтегровні за Ріманом на $[a,b]$.

Функціональна послідовність $\{u_{k}(x)\}$ збігається в середньому на $[a,b]$ до функції $u(x)$, якщо

$\lim _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{a}^{b}(u_{k}(x)-u(x))^{2}dx=0.$

Функціональний ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ збігається в середньому на $[a,b]$ до функції $S(x)$, якщо послідовність його частинних сум збігається в середньому на $[a,b]$ до граничної функції $S(x)$.

Зауваження. Якщо функціональна послідовність (ряд) збігається в середньому на $[a,b]$ до $u(x)(S(x))$, то ця послідовність (ряд) збігається в середньому до $u(x)(S(x))$ і на довільному проміжку $[c,d]\subset [a,b]$.

Теорема 7. (про зв'язок між рівномірною збіжністю та збіжністю в середньому)

Якщо послідовність $\{u_{k}(x)\}$ рівномірно збігається на $[a,b]$ до функції $u(x)$, то ця послідовність збігається в середньому на $[a,b]$ до $u(x)$.

Теорема 8. (про інтегрування)

Якщо послідовність $\{u_{k}(x)\}$ збіжна в середньому на $[a,b]$ до функції $u(x)$, то

$\lim _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{a}^{x}u_{k}(t)dt\rightrightarrows \int \limits _{a}^{x}u(t)dt,\quad x\in [a,b],$

тобто послідовність $\left\{\int _{a}^{x}u_{k}(t)dt\right\}$ рівномірно збігається на $[a,b]$ до функції $\int _{a}^{x}u(t)dt$.

Функціональні ряди комплексного аргументу

Розглянемо послідовність функцій $f_{k}(z):E\rightarrow \mathbb {C} ,\,k\in \mathbb {N}$, $E\subseteq \mathbb {C}$, та відповідний функціональний ряд

$\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots ,\quad z\in E.$

Означення поточкової та рівномірної збіжності аналогічні відповідним означенням із дійсного випадку, в яких модуль слід розуміти як модуль комплексного числа.

Теорема.

Для того, щоб ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)$ був збіжним (рівномірно збіжним) на множині $E$ до функції $f(z)$, необхідно і достатньо, щоб були збіжними (рівномірно збіжними) на множині $E$ ряди складені з дійсних та уявних частин функцій $f_{k}(z)$, тобто

$\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x,y)\rightrightarrows u(x,y),\quad z=x+iy\in E,\quad u_{k}(x,y)=\mathrm {Re} f_{k}(z),\quad u(x,y)=\mathrm {Re} f(z),$

$\sum _{k=1}^{\infty }v_{k}(x,y)\rightrightarrows v(x,y),\quad z=x+iy\in E,\quad v_{k}(x,y)=\mathrm {Im} f_{k}(z),\quad v(x,y)=\mathrm {Im} f(z).$

Ця теорема дає змогу перенести на комплексний випадок всі наведені вище теореми з дійсного випадку, зокрема, аналогічно формулюються ознаки рівномірної збіжності, критерій Коші, теореми про неперервність, інтегрування (у якій відрізок інтегрування можна замінити на довільну криву у комплексній площині) та диференціювання функціональних послідовностей та рядів.

Однак деякі результати не мають аналогу у дійсному випадку.

Теорема Вейєрштрасса про рівномірну збіжність рядів аналітичних функцій

Нехай в області $G$ задана послідовність $\{f_{k}(z)\},\,k\in \mathbb {N} ,$ аналітичних функцій, і ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)$ рівномірно збіжний на кожному замкненому крузі, що лежить в області $G$ до деякої функції $f(z)$. Тоді:

1) функція $f(z)$ аналітична в $G$;

2) ряд $\sum \nolimits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)$ можна диференціювати довільну кількість разів, тобто

$\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}^{(n)}(z)=f^{(n)}(z),\quad n\in \mathbb {N} ;$

3) кожен з рядів у пункті 2 рівномірно збігається на кожному замкненому крузі в області $G$.

Деякі узагальнення

Нехай $(X,\;d)$ — метричний простір з метрикою $d:=d(x,y),x,y\in X$.

Послідовність $\{x_{k}\},k\in \mathbb {N}$ елементів простору $(X,\;d)$ називається збіжною за метрикою цього простору до елемента $x\in (X,\;d)$, якщо

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n:n>N\quad d(x_{k},x)<\varepsilon .$

Послідовність $\{x_{k}\},k\in \mathbb {N}$ елементів простору $(X,\;d)$ називається фундаментальною, якщо

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n:m,n>N\quad d(x_{n},x_{m})<\varepsilon .$

Довільна збіжна послідовність є фундаментальною, але не навпаки (границя фундаментальної послідовності може не належати відповідному простору). Метричний простір у якому кожна фундаментальна послідовність є збіжною називається повним.

Розглянемо множину всіх неперервних на деякій множині $D$ дійсних функцій з метрикою

$d_{1}(f,g)=\sup _{x\in D}|f(x)-g(x)|.$

Відповідний метричний простір позначається $C(D)$ (якщо $D=[a,b]$ — відрізок, то $C([a,b])$ або $C[a,b]$), а метрика називається чебишовською або рівномірною.

Збіжність функціональної послідовності за метрикою у цьому просторі еквівалентна рівномірній збіжності. З наслідку теореми 1 (про граничний перехід) випливає, що цей метричний простір є повним, а критерієм фунадментальності послідовності є критерій Коші.

Тепер розглянемо множину всіх неперервних на відрізку $[a,b]$ дійсних функцій з метрикою

$d_{2}(f,g)=\left(\int \limits _{a}^{b}(u_{k}(x)-u(x))^{2}dx\right).$

Такий простір позначається $C_{2}([a,b])$ і називається простором неперервних функцій з квадратичною метрикою. Збіжність за метрикою у такому просторі еквівалентна збіжності в середньому. Цей простір не є повним.

Див. також

• Степеневий ряд
• Ряд Тейлора
• Ряд Лорана
• Ряд Фур'є
• Функція Веєрштраса

Література

• Заболоцький М.В., Сторож О.Г., Тарасюк С.І. Математичний аналіз: Підручник. — Львів : Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2007. — 416 с.
• В. М. Кадец. Курс функционального анализа. — Харьков : ХНУ имени В. Н. Каразина, 2006. — 607 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Зорич В. А. Математический анализ. — 9-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 2. — 676 с. — ISBN 978-5-4439-1303-2.(рос.)
• Воробьев Н.Н. Теория рядов: Учеб. пособие для вузов. — M. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. — 408 с.