Функціональний ряд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функціональний ряд — ряд, кожен член якого є деякою функцією від однієї чи багатьох незалежних змінних.

Сума вигляду

називається функціональним рядом відносно незалежної змінної , а

послідовність функцій відповідно — функціональною послідовністю.

Важливе значення у математиці мають функціональні ряди спеціального вигляду, такі як степеневі, коли функція (зокрема, ряд Тейлора та ряд Лорана) та тригонометричні ряди, (наприклад, ряд Фур'є).

Зміст

Функціональна послідовність[ред.ред. код]

Нехай задана послідовність функцій (взагалі кажучи комплекснозначних) на деякій підмножині евклідового простору .

Поточкова збіжність[ред.ред. код]

Функціональна послідовність збігається в точці , якщо, відповідно збігається числова послідовність , тобто існує Очевидно, що ця границя залежить від вибору точки , тобто є деякою функцією.

Функціональна послідовність збігається поточково на множині до функції , якщо вона збігається в кожній точці цієї множини. Іншими словами

Рівномірна збіжність[ред.ред. код]

Функціональна послідовність збігається рівномірно на множині до функції , якщо

Факт равномірної збіжності послідовності до функції записується так: .

Критерій Коші рівномірної збіжності функціональної послідовності[ред.ред. код]

Функціональна послідовність є рівномірно збіжною на множині тоді і тільки тоді, коли

Справедливі такі твердження:

а) Якщо , на , то ;

б) Якщо , а  — обмежена функція, то .

Функціональний ряд[ред.ред. код]

Нехай  — n-на частинна сума ряду , .

Збіжність функціональних рядів[ред.ред. код]

Ряд збігається поточково до функції , якщо послідовність його частинних сум збігається поточково до .

Ряд збігається рівномірно, якщо послідованість його частинних сум збігається рівномірно, .

Функція називається сумою ряду ,

Множина тих точок , для яких ряд збігається, називається областю збіжності ряду.

Зв'язок між рівномірною та поточковою збіжністю функціонального ряду[ред.ред. код]

Якщо ряд є рівномірно збіжним у деякій області, то він, очевидно, є поточково збіжним у цій області. Навпаки невірно.

Твердження 1. Поточково збіжний функціональний ряд є рівномірно збіжним на тоді і тільки тоді, коли

або, що те саме

Необхідна умова рівномірної збіжності[ред.ред. код]

Для того, щоб ряд збігався рівномірно на необхідно, щоб на при .


Критерій Коші рівномірної збіжності функціонального ряду[ред.ред. код]

Ряд є рівномірно збіжним на тоді і тільки тоді, коли

Абсолютно та умовно збіжні ряди[ред.ред. код]

Ряд називається абсолютно збіжним на , якщо для будь-якого ряд збігається.

Довільна перестановка членів абсолютно збіжного ряду не впливає на його суму.

Якщо ряд збігається, а  — розбіжний, то ряд називається умовно збіжним. Для таких рядів справделива Теорема Рімана про умовно збіжний ряд.

Ознаки рівномірної збіжності функціонального ряду[ред.ред. код]

Ознака порівняння та ознака Вейєрштрасса[ред.ред. код]

Нехай

1) ряди та такі, що для всіх ;

2) ряд рівномірно збіжний на .

Тоді ряд абсолютно та рівномірно збіжний на .

Ряд називається мажоруючим рядом по відношенню до ряду .

Наслідок (мажорантна ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності ряду)

Якщо члени функціонального ряду задовольняють умову

причому

то цей ряд є абсолютно та рівномірно збіжним на .

Ознака Діріхле[ред.ред. код]

Нехай функції та визначені на множині , причому

1) послідовність частинних сум обмежена, тобто

2) послідовність функцій монотонна, тобто для всіх , та .

Тоді ряд рівномірно збіжний на множині .

Ознака Абеля[ред.ред. код]

Нехай

1) ряд рівномірно збігається на ;

2) послідовність монотонна та обмежена на , тобто

Тоді ряд рівномірно збіжний на множині .

Властивості рівномірно збіжних функціональних послідовностей та рядів[ред.ред. код]

Неперервність[ред.ред. код]

Теорема 1. (про граничний перехід)

Нехай на деякому проміжку та існує скінченна границя

Тоді послідовність збіжна і

Іншими словами

Наслідок

Границя рівномірно збіжної послідовності неперервних функцій є неперервною функцією.

Теорема 2. (про неперервність суми функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд рівномірно збігається на множині до функції , а його члени  — неперервні на цій множині функції, то його сума є неперервною на функцією, тобто

Теорема Діні[ред.ред. код]

Нехай . Якщо послідовність неперервних на функцій при кожному незростаюча (або неспадна) і збігається поточково до , де неперервна на , то така збіжність є рівномірною.

Наслідок

Якщо ряд збігається (поточково) на відрізку до неперервної функції , а функції  — неперервні, причому для всіх , то ряд збігається рівномірно на до функції .

Інтегрування[ред.ред. код]

Теорема 3. (про граничний перехід під знаком інтеграла)

Нехай . Якщо послідовність інтегровних за Ріманом (Лебегом) на функцій рівномірно збігається до функції , то функція інтегровна за Ріманом (Лебегом) і

Для інтеграла в сенсі Лебега встановлено загальніший результат, який не має аналогу для інтеграла Рімана, а саме — Теорема Лебега про мажоровану збіжність.

Теорема 4. (про інтегрування функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд рівномірно збігається на відрізку до функції , а його члени  — неперервні на цьому відрізку функції, то

Диференціювання[ред.ред. код]

Теорема 5. (про диференціювання під знаком границі)

Нехай . Якщо послідовність неперервно диференційовних на відрізку функцій є поточково збіжною до функції , а послідовність їх похідних  — рівномірно збіжною на до деякої функції , то функція є неперервно диференційовною на , а її похідна дорівнює границі послідовності похідних

Теорема 6. (про диференціювання функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд , у якому функції  — неперервно диференційовні на відрізку , збігається хоча б в одній точці , а ряд  — рівномірно збігається на , то ряд також рівномірно збігається на до функції , причому

Збіжність у середньому функціональних послідовностей[ред.ред. код]

При дослідженні питання про інтегрування функціональних рядів, зокрема ряду Фур'є використовується поняття збіжності у середньому.

Нехай кожна функція функціональної послідовності і функція інтегровні за Ріманом на .

Функціональна послідовність збігається в середньому на до функції , якщо

Функціональний ряд збігається в середньому на до функції , якщо послідовність його частинних сум збігається в середньому на до граничної функції .

Зауваження. Якщо функціональна послідовність (ряд) збігається в середньому на до , то ця послідовність (ряд) збігається в середньому до і на довільному проміжку .

Теорема 7. (про зв'язок між рівномірною збіжністю та збіжністю в середньому)

Якщо послідовність рівномірно збігається на до функції , то ця послідовність збігається в середньому на до .

Теорема 8. (про інтегрування)

Якщо послідовність збіжна в середньому на до функції , то

тобто послідовність рівномірно збігається на до функції .

Функціональні ряди комплексного аргументу[ред.ред. код]

Розглянемо послідовність функцій , , та відповідний функціональний ряд

Означення поточкової та рівномірної збіжності аналогічні відповідним означенням із дійсного випадку, в яких модуль слід розуміти як модуль комплексного числа.

Теорема.

Для того, щоб ряд був збіжним (рівномірно збіжним) на множині до функції , необхідно і достатньо, щоб були збіжними (рівномірно збіжними) на множині ряди складені з дійсних та уявних частин функцій , тобто

Ця теорема дає змогу перенести на комплексний випадок всі наведені вище теореми з дійсного випадку, зокрема, аналогічно формулюються ознаки рівномірної збіжності, критерій Коші, теореми про неперервність, інтегрування (у якій відрізок інтегрування можна замінити на довільну криву у комплексній площині) та диференціювання функціональних послідовностей та рядів.

Однак деякі результати не мають аналогу у дійсному випадку.

Теорема Вейєрштрасса про рівномірну збіжність рядів аналітичних функцій[ред.ред. код]

Нехай в області задана послідовність аналітичних функцій, і ряд рівномірно збіжний на кожному замкненому крузі, що лежить в області до деякої функції . Тоді:

1) функція аналітична в ;

2) ряд можна диференціювати довільну кількість разів, тобто

3) кожен з рядів у пункті 2 рівномірно збігається на кожному замкненому крузі в області .

Деякі узагальнення[ред.ред. код]

Нехай  — метричний простір з метрикою .

Послідовність елементів простору називається збіжною за метрикою цього простору до елемента , якщо

Послідовність елементів простору називається фундаментальною, якщо

Довільна збіжна послідовність є фундаментальною, але не навпаки (границя фундаментальної послідовності може не належати відповідному простору). Метричний простір у якому кожна фундаментальна послідовність є збіжною називається повним.

Розглянемо множину всіх неперервних на деякій множині дійсних функцій з метрикою

Відповідний метричний простір позначається (якщо  — відрізок, то або ), а метрика називається чебишовською або рівномірною.

Збіжність функціональної послідовності за метрикою у цьому просторі еквівалентна рівномірній збіжності. З наслідку теореми 1 (про граничний перехід) випливає, що цей метричний простір є повним, а критерієм фунадментальності послідовності є критерій Коші.

Тепер розглянемо множину всіх неперервних на відрізку дійсних функцій з метрикою

Такий простір позначається і називається простором неперервних функцій з квадратичною метрикою. Збіжність за метрикою у такому просторі еквівалентна збіжності в середньому. Цей простір не є повним.

Див. також[ред.ред. код]


Література[ред.ред. код]

  • Заболоцький М.В., Сторож О.Г., Тарасюк С.І. Математичний аналіз: Підручник. — Львів : Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2007. — 416 с.
  • Дороговцев Я.В. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с.
  • Зорич В.А. Математичний анализ: Учебник. Ч.ІІ. — M. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 640 с.
  • Воробьев Н.Н. Теория рядов: Учеб. пособие для вузов.. — M. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. — 408 с.