Ознака д'Аламбера

Ознака Д’Аламбера — ознака збіжності числових рядів встановлена Жаном Д’Аламбером в 1768 році:

Якщо для числового ряду $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ існує таке число $q$, $0<q<1$, що починаючи з деякого номера виконується нерівність $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q,$ то даний ряд абсолютно збігається; якщо ж, починаючи з деякого номера $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1,$ то ряд розбігається.

Зокрема, якщо існує границя

$\rho =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|,$

(1)

то ряд, що розглядається, абсолютно збіжний якщо $\rho <1$, а якщо $\rho >1$ — розбіжний (ознака збіжності Д’Аламбера у граничній формі). Якщо $\rho =1$ або границя не існує - тест не дає результату, бо ряди які відповідають таким випадкам можуть бути як збіжні, так і розбіжні.

Ознаку д'Аламбера можна застосувати і в випадках, коли границя $\rho$ не існує або дорівнює одиниці, якщо використати верхню і нижню границі. Нехай:

$R=\varlimsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$

$r=\varliminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$.

Тоді:

• якщо R < 1, ряд абсолютно збіжний;
• якщо r > 1, ряд розбіжний;
• якщо $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1$ для всіх великих n (незалежно від значення r), ряд теж розбіжний тому що $|a_{n}|$ ненульове і зрозстаюче, а тому a_n не наближається до нуля;
• інакше результат не визначений.

Якщо границя $\rho$ в (1) існує, то $\rho =R=r$. Таким чином ознака з верхньою і нижньою границею включає в себе ознаку зі звичайною границею.

Приклади

1. Ряд

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

абсолютно збіжний для всіх комплексних $z$, бо

$\lim \left|{\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{n!}}}\right|=\lim {\frac {|z|}{n+1}}=0,$

2. Ряд

$\sum _{n=0}^{\infty }n!\;z^{n}$

розбігається при всіх $z\not =0$, бо

$\lim \left|{\frac {(n+1)!\;z^{n+1}}{n!\;z^{n}}}\right|=\lim |(n+1)z|=\infty .$

3. Якщо $\rho =1$, то ряд може як збігатися, так і розбігатися: обидва ряди

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n}}$     і     $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

задовольняють цю умову, причому перший ряд розбіжний, а другий збіжний.

Розширення для ρ = 1

Як було видно вище, ознака не визначена коли границя дорівнює 1. Розширення ознаки д'Аламбера іноді дозволяють розібратися з такими випадками.

У всіх ознаках нижче, вважаємо що Σa_n це сума додатніх a_n. Такі ознаки можна також застосовувати до будь-яких рядів зі скінченним числом від'ємних членів. Такі ряди можна записати як:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}+\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}$

де a_N - це від'ємний елемент з найбільшим індексом.

Див. також

• Радикальна ознака Коші

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1500+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Ознака Даламбера (теорема) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 505. — 594 с.
• d'Alembert, J. (1768), Opuscules, т. V, с. 171—183.
• Rudin, Walter (1986). Principles of Mathematical Analysis (PDF) (англ.) (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. с. 342.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Bertrand criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Gauss criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Kummer criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4