Параметричне завдання поверхні

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Клас тривимірних параметричних поверхонь визначається функцією Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle F(t_1, \ldots,t_k)\colon \mathbb{M}\to \mathbb{R}^3} , що залежить від параметрів та відображає деякий зв'язаний простір з n-мірного простору в тривимірний простір таким чином, що це відображення є поверхнею. Ця функція задає клас поверхонь, а набір параметрів — конкретну поверхню з цього класу.

Найбільш практичним є випадок, коли множина є одиничним квадратом в двовимірному просторі. У цьому випадку параметричну поверхню можна описати так:

чи , де

Параметричні поверхні широко використовуються в прикладній геометрії та комп'ютерній графіці для представлення складних поверхонь. Коли поверхня параметризована, то її зручно обробляти та відображати.

Параметризація найпростіших поверхонь[ред.ред. код]

Точка та базис з двох неколінеарних векторів Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \vec{l}_1, \vec{l}_2} в тривимірному просторі визначає площину та відображення на неї двовимірної декартової системи координат. Тим самим визначається -параметризація площини ( і — параметри) :

  • Плоский N-кутник

Загалом параметризацію в N-кутнику можна ввести використовуючи систему барицентричних координат.

Цей найважливіший окремий випадок N-кутника заслуговує особливої ​​уваги. Найбільш поширений спосіб параметризації трикутника — лінійне відображення на нього трикутника з -простору.

Для параметризації сфери найзручніше використовувати однойменну систему координат:

.

Цілком природно використовувати циліндричну систему координат:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \left\{ \begin{array}{ccc} x &=& \rho \cos \varphi \\ y &=& \rho \sin \varphi \\ z &=& h \end{array}\right., \quad \varphi\in[0,2\pi) } .

Криві поверхні[ред.ред. код]

Впорядкований набір з 4-х точок у просторі визначає білінійну інтерполяційну поверхню і задає відображення на неї квадрата :

Ця поверхня є гладкою, проте неможливість задавати довільні дотичні на її кордоні робить її практично непридатною в якості патчів

На практиці застосовується переважно два види поверхонь Безьє: бікубічна 3-го порядку — чотирикутник, який визначається 16-ю точками, і барицентрична 3-го порядку — трикутник, який визначається 10 точками. барицентрична система координат у трикутнику містить 3 числа, тому вона не завжди зручна.

Кордон поверхні Безьє складається з кривих Безьє. Точки, що визначають поверхню, визначають також криві її кордони, включаючи нормалі на них. Це дозволяє створювати гладкі складові поверхні , тобто використовувати поверхні Безьє в якості патчів

Раціональна поверхню Безьє відрізняється тим, що кожній точці в її визначенні призначений деякий «вагу», що визначає ступінь її впливу на форму поверхні.

На практиці зазвичай застосовуються Бікубічна B-сплайнів поверхні . Як і поверхні Безьє , вони визначаються 16-ю точками, проте в загальному випадку не проходять через ці точки. Однак B-сплайни зручно використовувати в якості патчів, оскільки вони добре стикуються один з одним при використанні загальної сітки вершин, а самі вершини дозволяють явним чином задавати нормалі та дотичні на кордонах патчів.

За необхідності більш гнучкого керування формою поверхні застосовують раціональні B-сплайни, неоднорідні B-сплайни , а також комбінований варіант — неоднорідні раціональні B-сплайни (NURBS).

Властивості параметричних поверхонь[ред.ред. код]

Нехай . Тоді:

  • Нормаль у точці поверхні визначається виразом:
  • Площа параметрично заданої поверхні розраховується за формулами:

Або

, де

Література[ред.ред. код]

  • Ільїн В. А., Позняк Е. Г. {{{Заголовок}}}. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
  • Кудрявцев Л. Д. {{{Заголовок}}}. — М. : Дрофа. — 570 с.
  • Роджерс Д., Адамс Дж. {{{Заголовок}}}. — 2-е, перераб. та доп.. — М. : Світ, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.