Параметричне завдання поверхні

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Клас тривимірних параметричних поверхонь визначається функцією , що залежить від параметрів та відображає деякий зв'язаний простір з n-мірного простору в тривимірний простір таким чином, що це відображення є поверхнею. Ця функція задає клас поверхонь, а набір параметрів — конкретну поверхню з цього класу.

Найбільш практичним є випадок, коли множина є одиничним квадратом в двовимірному просторі. У цьому випадку параметричну поверхню можна описати так:

чи , де

Параметричні поверхні широко використовуються в прикладній геометрії та комп'ютерній графіці для представлення складних поверхонь. Коли поверхня параметризована, то її зручно обробляти та відображати.

Параметризація найпростіших поверхонь[ред.ред. код]

Точка та базис з двох неколінеарних векторів в тривимірному просторі визначає площину та відображення на неї двовимірної декартової системи координат. Тим самим визначається -параметризація площини ( і — параметри) :

  • Плоский N-кутник

Загалом параметризацію в N-кутнику можна ввести використовуючи систему барицентричних координат.

Цей найважливіший окремий випадок N-кутника заслуговує особливої уваги. Найбільш поширений спосіб параметризації трикутника — лінійне відображення на нього трикутника з -простору.

Для параметризації сфери найзручніше використовувати однойменну систему координат:

.

Цілком природно використовувати циліндричну систему координат:

.

Криві поверхні[ред.ред. код]

Впорядкований набір з 4-х точок у просторі визначає білінійну інтерполяційну поверхню і задає відображення на неї квадрата :

Ця поверхня є гладкою, проте неможливість задавати довільні дотичні на її кордоні робить її практично непридатною як патчі

На практиці застосовується переважно два види поверхонь Безьє: бікубічна 3-го порядку — чотирикутник, який визначається 16-ю точками, і барицентрична 3-го порядку — трикутник, який визначається 10 точками. барицентрична система координат у трикутнику містить 3 числа, тому вона не завжди зручна.

Кордон поверхні Безьє складається з кривих Безьє. Точки, що визначають поверхню, визначають також криві її кордони, включаючи нормалі на них. Це дозволяє створювати гладкі складові поверхні, тобто використовувати поверхні Безьє як патчі.

Раціональна поверхню Безьє відрізняється тим, що кожній точці в її визначенні призначений деякий «вагу», що визначає ступінь її впливу на форму поверхні.

На практиці зазвичай застосовуються Бікубічна B-сплайнів поверхні. Як і поверхні Безьє, вони визначаються 16-ю точками, проте в загальному випадку не проходять через ці точки. Однак B-сплайни зручно використовувати як патчі, оскільки вони добре стикуються один з одним при використанні загальної сітки вершин, а самі вершини дозволяють явним чином задавати нормалі та дотичні на кордонах патчів.

За необхідності більш гнучкого керування формою поверхні застосовують раціональні B-сплайни, неоднорідні B-сплайни, а також комбінований варіант — неоднорідні раціональні B-сплайни (NURBS).

Властивості параметричних поверхонь[ред.ред. код]

Нехай . Тоді:

  • Нормаль у точці поверхні визначається виразом:
  • Площа параметрично заданої поверхні розраховується за формулами:

Або

, де

Література[ред.ред. код]

  • Ільїн В. А., Позняк Е. Г. {{{Заголовок}}}. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
  • Кудрявцев Л. Д. {{{Заголовок}}}. — М. : Дрофа. — 570 с.
  • Роджерс Д., Адамс Дж. {{{Заголовок}}}. — 2-е, перераб. та доп.. — М. : Світ, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.