Поширення невизначеності

Поши́рення неви́значеності (або поширення похибки) — у статистиці та чисельних методах, це вплив невизначеності змінних (або похибок, точніше випадкових помилок) на невизначеність функції, що ґрунтується на них.

Коли змінні є значеннями експериментальних вимірювань, вони мають невизначеності через обмеження вимірювань (наприклад, точність приладу), які поширюються через комбінування змінних у функції.

Невизначеність u може бути виражена кількома способами. Вона може бути визначена абсолютною похибкою Δx. Невизначеність також можна визначити відносною похибкою (Δx)/x, яка зазвичай записується у відсотках. Найчастіше невизначеність величини кількісно визначають за стандартним відхиленням σ, яке є додатним квадратним коренем із дисперсії. Тоді значення величини та її похибка виражаються як інтервал x ± u.

Однак найзагальніший спосіб охарактеризувати невизначеність полягає в визначенні її розподілу ймовірностей. Якщо розподіл ймовірностей змінної відомий або його можна припустити, теоретично можна отримати будь-яку його статистику. Зокрема, можна вивести довірчий інтервал для опису області, в якій справжнє значення змінної може знаходитись.

Якщо невизначеності корелюють, то коваріацію необхідно брати до уваги. Кореляція може виникати з двох різних джерел. По-перше, похибки вимірювання можуть бути корельовані. По-друге, коли базові значення корелюють в генеральній сукупності, невизначеності в середніх значеннях будуть корельовані.

Приклади

Для дійсних функцій однієї змінної $A,B$ зі стандартними відхиленнями $\sigma _{A},\sigma _{B},$ коваріацією $\sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B},$ і кореляцією $\rho _{AB}.$ Дійсні коефіцієнти $a$ and $b$ є відомими точно, тобто, $\sigma _{a}=\sigma _{b}=0.$

В стовбцях справа, $A$ та $B$ є математичними сподіваннями, а $f$ — функцією, обчисленою на цих значеннях.

Function	Дисперсія	Стандартне відхилення
$f=aA\,$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}$	$\sigma _{f}=|a|\sigma _{A}$
$f=A+B$	$\sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}}}$
$f=A-B$	$\sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}}$
$f=aA+bB$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}}$
$f=aA-bB$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}}$
$f=AB$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}$
$f={\frac {A}{B}}$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}$
$f={\frac {A}{A+B}}$	$\sigma _{f}^{2}\approx {\frac {f^{2}}{\left(A+B\right)^{2}}}\left({\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}\right)$	$\sigma _{f}\approx \left|{\frac {f}{A+B}}\right|{\sqrt {{\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}}}$
$f=aA^{b}$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right)^{2}=\left({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right|=\left|{\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right|$
$f=a\ln(bA)$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right|$
$f=a\log _{10}(bA)$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right|$
$f=ae^{bA}$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left(b\sigma _{A}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|\left(b\sigma _{A}\right)\right|$
$f=a^{bA}$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|b\ln(a)\sigma _{A}\right|$
$f=a\sin(bA)$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\cos(bA)\sigma _{A}\right]^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|ab\cos(bA)\sigma _{A}\right|$
$f=a\cos \left(bA\right)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sin(bA)\sigma _{A}\right]^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|ab\sin(bA)\sigma _{A}\right|$
$f=a\tan \left(bA\right)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right]^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right|$
$f=A^{B}$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}\right]$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}$
$f={\sqrt {aA^{2}\pm bB^{2}}}$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}\approx {\sqrt {\left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}}$