Кореляція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії ймовірностей та математичній статистиці, кореляція є залежністю двох випадкових величин. При цьому, зміна однієї або кількох цих величин призводить до систематичної зміни іншої або інших величин. Математичною мірою кореляції двох випадкових величин слугує коефіцієнт кореляції.

Кореляція може бути позитивною та негативною (можлива також ситуація відсутності статистичного зв'язку — наприклад, для незалежних випадкових величин). Негативна кореляція — кореляція, при якій збільшення однієї змінної пов'язане зі зменшенням іншої, при цьому коефіцієнт кореляції від'ємний. Додатна кореляція — кореляція, при якій збільшення однієї змінної пов'язане зі збільшенням іншої, при цьому коефіцієнт кореляції додатній.

Коефіцієнт кореляції[ред.ред. код]

Нехай \mathbf{X} та \mathbf{Y} — випадкові величини з математичним сподіванням μX та μY. Їх коефіцієнт кореляції позначається як \rho(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) і дорівнює:[1]

\rho(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \frac{\mathrm{Cov}(\mathbf{X}, \mathbf{Y})}{\sigma_X, \sigma_Y} = {E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)) \over \sigma_X\sigma_Y},

де:

\mathrm{Cov}(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) — коваріація величин \mathbf{X} та \mathbf{Y},
\sigma_X, \sigma_Y — стандартне відхилення величин \mathbf{X} та \mathbf{Y},
E — оператор математичного сподівання.

Властивості[ред.ред. код]

Якщо X та Y — незалежні, то коефіцієнт кореляції \rho(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) дорівнює 0. Зворотне твердження невірне. Коефіцієнт кореляції може дорівнювати 0 навіть якщо Y є функцією від X.[1]

Завжди виконується нерівність:[1]

|\rho(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) | \le 1.

Причому, \rho(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \pm 1 тоді і лише тоді, коли \mathbf{Y} = a \mathbf{X} + b, де a та b — сталі.

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б в В. Феллер (1964). Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. М.: Мир.