Момент (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Моме́нт випадкової величини́ — числова характеристика розподілу даної випадкової величини.

Означення[ред.ред. код]

Моментом n-того порядку дискретної випадкової величини , яка приймає значення з ймовірністю , де , називається число , якщо цей ряд збігається абсолютно, тобто .[1]

Величина називається абсолютним моментом випадкової величини .

Моментом n-того порядку неперервної випадкової величини з густиною , називається число , якщо інтеграл збігається абсолютно, тобто .[1]


Якщо дана випадкова величина визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини називається величина

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Початковим моментом k-го порядку називається величина:

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

-им факторіальним моментом випадкової величини називається величина

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Зауваження[ред.ред. код]

Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:

і т. д.

Геометрична інтерпретація деяких моментів[ред.ред. код]

  • дорівнює математичному сподіванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
  • дорівнює дисперсії розподілу випадкової величини і показує розкид розподілу довкола середнього значення.
  • , будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз
називається коефіцієнтом асиметрії.
  • контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина
називається коефіцієнтом ексцесу розподілу в.в.

Обчислення моментів[ред.ред. код]

якщо

,


а для дискретних розподілів із функцією ймовірностей :



якщо

  • Також початкові моменти випадкової величини можна обчислити використовуючи її характеристичну функцію :
  • Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена твірна функція моментів, , то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:

Можна також розглядати моменти в.в. для значень , що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу , називається перетворення Мелліна.

Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий — тензором другого порядку (див. матриця коваріації) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Сеньо П. С. (2004). Розділ 4.3. Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 1-e). Київ: Центр навчальної літератури. с. 448. 


Зноски[ред.ред. код]

  1. а б Єжов С.М. (2001). Теорія ймовірностей, математична статистика і випадкові процеси: Навчальний посібник. (укр). К.: ВПЦ "Київський університет". Архів оригіналу за 2007-02-24.