Метод невизначених коефіцієнтів (Розкладання на прості дроби) (англ. partial fraction decomposition) алгебраїчного дробу (такого дробу, що чисельник і знаменник обидва многочлени) — це операція, яка складається з вираження дробу як суми многочлена (можливо нуля) і одного або кількох дробів з простішими знаменниками.
Розкладання на прості дроби є досить важливим наприклад у інтегральному численні, оскільки цей алгоритм дає можливість обчислити первісну раціональної функції набагато простіше.
Розкладання на прості дроби можна використати, щоб привести раціональний дріб форми
![{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03690d6a1fc39c60081efc65a4efb0afdffb7fcf)
де ƒ і g є многочленами, до виразу форми
![{\displaystyle \sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505243780faf16d2dbdc91fbe2bcaf0c2802a381)
де gj (x) це многочлени які є дільниками g(x), і зазвичай меншого степеню. Отже, розклад на прості дроби можна розглядати як процедуру обернену до простішої операції додавання алгебраїчних дробів, результатом якої є єдиний алгебраїчний дріб з чисельником і знаменником зазвичай вищого степеню. Повний розклад проводить перетворення так далеко як тільки можливо: інакше кажучи, g факторизується на стільки, на скільки це можливо. Отже, на виході повного розкладу на прості дроби ми маємо суму дробів, де:
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5515d3f443c8015b7e636ff4ccbd46397d32e437)
Тут знаменник можна розкласти на два різні лінійні множники:
![{\displaystyle q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36aa0350185026f849cdfe950f95c138e61cc8e8)
Отже, ми маємо такий розклад
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be61e034c7b8c7a241ef609143d90493b64bdd46)
Множення на x2 + 2x − 3 дає нам таке рівняння
![{\displaystyle 1=A(x-1)+B(x+3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/319abda15cd08fbd75e17d28da4ceaedc9cb1706)
Заміна x = −3 дає A = −1/4 і заміна x = 1 дає B = 1/4. Отже,
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a8cd26e8c8974c4f724976b11c77446a8c11ab)
![{\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237468007296fea20672d96cb48be41a6344d62b)
Після ділення многочленів, ми маємо
![{\displaystyle f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b081df5b412cbc14879743d2bd3dfad068003159)
Оскільки (−4)2 − 4×8 = −16 < 0, множник x2 − 4x + 8 є незвідним і розклад на прості дроби над полем дійсних чисел такий
![{\displaystyle {\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2aae914ce7dd3be7ae89a088546004fc2148c6a)
Множачи на x3 − 4x2 + 8x, отримуємо тотожність
![{\displaystyle 4x^{2}-8x+16=A(x^{2}-4x+8)+(Bx+C)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b8dc9a114fb4aaa7decfafd1fbdd2aee39e410)
Беручи x = 0, ми бачимо, що 16 = 8A, отже A = 2. Порівнюючи коефіцієнти при x2 ми бачимо, що 4 = A + B = 2 + B, отже B = 2. З порівняння лінійних коефіцієнтів ми бачимо, що −8 = −4A + C = −8 + C, отже C = 0. В підсумку,
![{\displaystyle f(x)=1+2\left({\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}-4x+8}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c89a83c748ea528d9ecfefd2715a4d24111e05)
Цей приклад демонструє майже всі можливі хитрощі, які могли б знадобитися в розв'язанні за допомогою СКА.
![{\displaystyle f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab1352cc2df8d1d3de8bd9c673c33bc2101b8f3)
Після ділення многочленів і факторизації знаменника, маємо
![{\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943d9346332989c98f9748717b9557256b1155f9)
Розклавши на прості дроби отримує таку форму
![{\displaystyle {\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d0e80427679c71185da355fe2b63a15ad4a1bb)
Множачи на (x − 1)3(x2 + 1)2 переходимо до тотожних многочленів
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad 2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+C(x^{2}+1)^{2}+(Dx+E)(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(Fx+G)(x-1)^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8964a6df19616099becf1c1beea9769cd10f95)
Беручи x = 1 отримуємо 4 = 4C, отже C = 1. Так само, беручи x = i отримуємо 2 + 2i = (Fi + G)(2 + 2i), отже Fi + G = 1, звідси F = 0 і G = 1 через прирівнювання дійсних і уявних складових. З C = G = 1 і F = 0, беручи x = 0 ми отримуємо A − B + 1 − E − 1 = 0, таким чином E = A − B.
Маємо тотожність
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+(x^{2}+1)^{2}+(Dx+(A-B))(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\\&=A((x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+(x-1)^{3}(x^{2}+1))+B((x-1)(x^{2}+1)-(x-1)^{3}(x^{2}+1))+(x^{2}+1)^{2}+Dx(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f07bf4a32bb5907f6aea69fa1e0d92ea0d3555a)
Розкриваючи дужки і сортуючи степені x отримуємо
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=(A+D)x^{6}+(-A-3D)x^{5}+(2B+4D+1)x^{4}+(-2B-4D+1)x^{3}+(-A+2B+3D-1)x^{2}+(A-2B-D+3)x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c493dd26d5b0445e7eb001fecdb8916a7e5cca)
Тепер ми можемо порівняти коефіцієнти і побачити, що
![{\displaystyle {\begin{aligned}A+D&=&2\\-A-3D&=&-4\\2B+4D+1&=&5\\-2B-4D+1&=&-3\\-A+2B+3D-1&=&1\\A-2B-D+3&=&3,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cccf897f5425121e12338b653bf97b3754587f)
з A = 2 − D і −A −3 D =−4 випливає, що A = D = 1 і з цього B = 0, далі C = 1, E = A − B = 1, F = 0 і G = 1.
Отже, розклад на прості дроби для ƒ(x) такий
![{\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6285997728cf18c11b202ac46ee9fdd4616dc3)
Замість розкривання дужок, інші лінійні залежності коефіцієнтів можна було отримати через обчислення похідних у x=1 і x=i в попередній поліноміальній тотожності. (Для цього згадаймо, що похідна в x=a від (x−a)mp(x) зникає якщо m > 1 і є просто p(a) якщо m=1.)
Отже, наприклад, перша похідна в x=1 дає
![{\displaystyle 2\cdot 6-4\cdot 5+5\cdot 4-3\cdot 3+2+3=A\cdot (0+0)+B\cdot (2+0)+8+D\cdot 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cbc04abfe3d1d947531b41b3cb6c613e3ecde2)
тобто 8 = 2B + 8 отже B=0.
Розкладання раціональних дробів на елементарні дроби
[ред. | ред. код]
Класичним прикладом застосування методу невизначених коефіцієнтів є розкладання правильного раціонального дробу в області комплексних або дійсних чисел на найпростіші дроби.
Нехай
і
— многочлени з комплексними коефіцієнтами, причому степінь многочлена
менше степені многочлена
, коефіцієнт при старшому члені многочлена
дорівнює 1,
― корені многочлена
з кратностями
, отже,
![{\displaystyle q(z)=(z-z_{1})^{\alpha _{1}}(z-z_{2})^{\alpha _{2}}..(z-z_{k})^{\alpha _{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d7d8eb732d6644fa2329e6a044a9d7948af512)
Функція
може бути подана, і причому єдиним способом, у вигляді суми елементарних дробів
![{\displaystyle {\frac {p(z)}{q(z)}}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{\alpha _{i}}{\frac {A_{i,j}}{(z-z_{i})^{j}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec13020f8051528fe812867e15b4775ffb4f8d2)
де
― невідомі поки комплексні числа (їх кількість дорівнює степені
).
Для їх знаходження обидві частини рівності приводять до спільного знаменника. Після його відкидання і приведення в правій частині подібних членів одержується рівність, яка зводиться до системи лінійних рівнянь відносно
.
Примітка. Знаходження невідомих можна спростити, якщо
має некратні корні
. Після множення на
останньої рівності і підстановки
безпосередньо одержуємо значення відповідного коефіцієнта
.
- Корн Г., Корн Т. (1977). Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. с. 832 с.