Алгебричний многовид: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
м перейменував «Алгебраїчний многовид» на «Алгебричний многовид» |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
В [[ |
В [[алгебрична геометрія|алгебричній геометрії]] '''алгебричний многовид''' — [[множина]] точок, координати яких задовольняють деякій системі [[многочлен|поліноміальних]] рівнянь. |
||
== Визначення == |
== Визначення == |
||
Розглядаються чотири види |
Розглядаються чотири види алгебричних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди , проектні многовиди і квазі-проективні многовиди. |
||
=== Афінні многовиди === |
=== Афінні многовиди === |
||
Нехай <math>K\,</math> є [[ |
Нехай <math>K\,</math> є [[алгебрично замкнуте поле | алгебрично замкнуте поле]] і <math>\mathbf A^n </math> — ''n''-мірний [[Афінний простір |афінний простір]] над <math> K\,</math>. Многочлени <math> F \in K [x_1 ,..., x_n] </math> можна розглядати як [[функція (математика) | функції]] з <math>\mathbf A^n</math>, зі значеннями в <math>K\,</math>. Для кожного <math>S \subset k[x_1,...,x_n]</math> можна визначити підмножину <math> \mathbf A^n </math>, в якій значення всіх поліномів з множини <math> S\,</math> рівне нулю: |
||
:<math>Z(S)=\{x\in\mathbf A^n|f(x)=0 \quad \forall f\in S\}</math> |
:<math>Z(S)=\{x\in\mathbf A^n|f(x)=0 \quad \forall f\in S\}</math> |
||
Підмножина <math>V\,</math>, множини <math> \mathbf A^n </math> називається '''афінною |
Підмножина <math>V\,</math>, множини <math> \mathbf A^n </math> називається '''афінною алгебричною множиною''', якщо <math>V = Z(S)\,</math> для деякої <math> S\,</math>. Непорожня афінна алгебрична множина називається ''незвідною'', якщо вона не може бути представлена у вигляді [[об'єднання множин|суми]] двох алгебричних підмножин. Незвідні афінні алгебричні множини називаються афінними алгебричними многовидами, або просто '''афінними многовидами'''. |
||
Для афінного многовиду можна задати природну [[топологія|топологію]], [[замкнута множина|замкнутими множинами]] якої є всі |
Для афінного многовиду можна задати природну [[топологія|топологію]], [[замкнута множина|замкнутими множинами]] якої є всі алгебричні множини. Дана топологія називається [[топологія Зариського|топологією Зариського]]. |
||
Для <math>V \subset \mathbf A^n</math> нехай <math>I(V)\,</math> — [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] многочленів, значення яких на множині <math>V\,</math> рівні нулю. |
Для <math>V \subset \mathbf A^n</math> нехай <math>I(V)\,</math> — [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] многочленів, значення яких на множині <math>V\,</math> рівні нулю. |
||
Рядок 19: | Рядок 19: | ||
:<math>I(V)=\{f\in k[x_1,...,x_n]|f(x)=0 \quad \forall x \in V\}</math> |
:<math>I(V)=\{f\in k[x_1,...,x_n]|f(x)=0 \quad \forall x \in V\}</math> |
||
Для будь-якої |
Для будь-якої алгебричної множини <math> V\,</math> '''координатним кільцем''' або '''структурним кільцем ''' називається [[фактор-кільце]] многочленів по цьому ідеалу. |
||
=== Проективні многовиди === |
=== Проективні многовиди === |
||
Рядок 26: | Рядок 26: | ||
:<math>Z(S)=\{x\in\mathbf P^n|f(x)=0 \quad \forall f \in S\}</math> |
:<math>Z(S)=\{x\in\mathbf P^n|f(x)=0 \quad \forall f \in S\}</math> |
||
Підмножина <math> V </math>, множини <math>\mathbf P^n</math> називається '''проективною |
Підмножина <math> V </math>, множини <math>\mathbf P^n</math> називається '''проективною алгебричною множиною''', якщо <math> V = Z(S)\,</math> для деякої <math> S\,</math>. Непорожня проективна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні проективні алгебричні множини називаються проективними алгебричними многовидами, або просто проективними многовидами. |
||
Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського. |
Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського. |
||
Для <math>V \subset \mathbf P^n</math> Нехай <math>I(V)\,</math> — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині <math> V\,</math> рівне нулю. Для будь-якої проективної |
Для <math>V \subset \mathbf P^n</math> Нехай <math>I(V)\,</math> — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині <math> V\,</math> рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебричної множини <math>V\,</math> фактор-кільце по цьому ідеалу називається '''координатним кільцем'''. |
||
== Основні властивості == |
== Основні властивості == |
||
* Афінна |
* Афінна алгебрична множина <math>V\,</math> є алгебричним многовидом тоді і тільки тоді коли <math>I(V)\,</math> є [[простий ідеал|простим ідеалом]]. |
||
* Довільна непорожня афінна |
* Довільна непорожня афінна алгебрична множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебричних многовидів. |
||
== Див. також == |
== Див. також == |
||
Рядок 40: | Рядок 40: | ||
== Посилання == |
== Посилання == |
||
[http://www.imath.kiev.ua/~drozd/AG-App.pdf Ю.Дрозд. |
[http://www.imath.kiev.ua/~drozd/AG-App.pdf Ю.Дрозд. Алгебрична геометрія і її застосування.Курс лекцій] |
||
== Література == |
== Література == |
||
Рядок 49: | Рядок 49: | ||
* David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. ISBN 0-471-43334-9. |
* David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. ISBN 0-471-43334-9. |
||
[[Категорія: |
[[Категорія:Алгебрична геометрія]] |
||
[[bg:Алгебрично многообразие]] |
[[bg:Алгебрично многообразие]] |
Версія за 09:46, 8 січня 2012
В алгебричній геометрії алгебричний многовид — множина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.
Визначення
Розглядаються чотири види алгебричних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди , проектні многовиди і квазі-проективні многовиди.
Афінні многовиди
Нехай є алгебрично замкнуте поле і — n-мірний афінний простір над . Многочлени можна розглядати як функції з , зі значеннями в . Для кожного можна визначити підмножину , в якій значення всіх поліномів з множини рівне нулю:
Підмножина , множини називається афінною алгебричною множиною, якщо для деякої . Непорожня афінна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні афінні алгебричні множини називаються афінними алгебричними многовидами, або просто афінними многовидами.
Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебричні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.
Для нехай — ідеал многочленів, значення яких на множині рівні нулю.
Для будь-якої алгебричної множини координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів по цьому ідеалу.
Проективні многовиди
Нехай — n-мірний проективний простір над полем . Однорідний многочлен , можна розглядати як функцію , зі значеннями в . Для будь-якого аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:
Підмножина , множини називається проективною алгебричною множиною, якщо для деякої . Непорожня проективна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні проективні алгебричні множини називаються проективними алгебричними многовидами, або просто проективними многовидами.
Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.
Для Нехай — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебричної множини фактор-кільце по цьому ідеалу називається координатним кільцем.
Основні властивості
- Афінна алгебрична множина є алгебричним многовидом тоді і тільки тоді коли є простим ідеалом.
- Довільна непорожня афінна алгебрична множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебричних многовидів.
Див. також
Посилання
Ю.Дрозд. Алгебрична геометрія і її застосування.Курс лекцій
Література
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
- Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
- David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
- David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.
- David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. ISBN 0-471-43334-9.