Спрощений квадрат Аренса

Визначення

Нехай $S=(0,1)^{2}$, $X=S\cup \{(0,0),(0,1)\}$, бази систем околів точок з $S$ є евклідовими, а множини $U_{n}(0,0)=\{(0,0)\}\cup \{(x,y)|0<x<{\frac {1}{2}},0<y<{\frac {1}{n}}\}$ та $U_{m}(1,0)=\{(1,0)\}\cup \{(x,y)|{\frac {1}{2}}<x<1,0<y<{\frac {1}{m}}\}$ утворюють бази систем околів точок $(0,0)$ і $(1,0)$ відповідно.

Властивості

• $X$ гаусдорфів, але не цілком гаусдорфів, бо точки $(0,0)$ і $(1,0)$ не мають замкнених неперетинних околів. Очевидно, що $X$ напіврегулярний, тому що задана база складається з відкритих регулярних множин. Таким чином $X$ не є $T_{3}$,$T_{4}$ або $T_{5}$-простором.
• Очевидно, що $X$ не є секвенціально компактним, тому що індукована топологія на відкритому квадраті $S$ є евклідовою.
• $X$ не є ані локально компактним, ані компактним простором, бо він є $T_{2}$ і не є $T_{3}$-простором.
• $X$ задовольняє другу аксіому зліченності, сепарабельний і ліндельофів. Оскільки $X$ не є $T_{3}$-простором, він не паракомпактний і, таким чином, не зліченно паракомпактний внаслідок ліндельофовості.
• $X$ метакомпактний, бо відкритий квадрат $S$ метакомпактний в індукованій топології, і тому додавання околу для кожної з двох точок $(0,0)$ і $(1,0)$ до точково скінченного вписаного покриття не змінить його точково скінченний характер.
• Тотожне відображення з $X$ з евклідовою топологією в заданий простір $X$ неперервне, тому $X$ є і дугово зв'язним, і локально дугово зв'язним.

Література

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 (Приклад 81)