Стала Глейшера — Кінкеліна

У математиці стала Глейшера — Кінкеліна або стала Глейшера, зазвичай позначається $A$, є математичною константою, пов'язаною з K-функцією та G-функцією Барнса. Константа з'являється при дослідженні багатьох сум та інтегралів, особливо тих, що включають гамма-функції та дзета-функції.

Константа названа на честь математиків Джеймса Вітбреда Лі Глейшера та Германа Кінкеліна.

Її приблизне значення:

$A=1,28242712910062263687...$ (послідовність A074962 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Стала Глейшера — Кінкеліна $A$ може бути подана у вигляді границі:

$A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {H(n)}{n^{{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{12}}}\,{\rm {e}}^{-{\frac {n^{2}}{4}}}}}$,

де $H(n)=\prod \limits _{k=1}^{n}k^{k}$ — гіперфакторіал. Ця формула демонструє подібність між сталою $A$ і числом $\pi$, що, можливо, найкраще проілюстровано формулою Стірлінга:

${\sqrt {2\pi }}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n^{n+{\frac {1}{2}}}\,{\rm {e}}^{-n}}}$,

яка показує, що подібно до того, як число $\pi$ отримується з апроксимації факторіалів, стала $A$ також може бути отримана з подібної апроксимації гіперфакторіалів.

Еквівалентне визначення для сталої $A$, що включає G-функцію Барнса, задане $G(n)=\prod \limits _{k=1}^{n-2}k!={\frac {[\Gamma (n)]^{n-1}}{K(n)}}$, де $\Gamma (n)$ — гамма-функція:

$A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}n^{{\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}}{\rm {e}}^{-{\frac {3n^{2}}{4}}+{\frac {1}{12}}}}{G(n+1)}}$.

Стала Глейшера — Кінкеліна також з'являється в оцінках похідних дзета-функції Рімана, як-от:

$\zeta '(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln A,$

$\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}=-\zeta '(2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left(12\ln A-\gamma -\ln 2\pi \right),$

де $\gamma$ — стала Ейлера — Маскероні. Остання формула веде безпосередньо до наступного добутку, знайденого Глейшером:

$\prod _{k=1}^{\infty }k^{\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi {\rm {e}}^{\gamma }}}\right)^{\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Альтернативна формула добутку, визначена над простими числами, читається як

$\prod _{k=1}^{\infty }p_{k}^{\frac {1}{p_{k}^{2}-1}}={\frac {A^{12}}{2\pi {\rm {e}}^{\gamma }}},$

де $p_{k}$ позначає $k$-те просте число.

Нижче наведено деякі інтеграли, які включають цю константу:

$\int _{0}^{\frac {1}{2}}\ln \Gamma (x)\,{\rm {d}}x={\tfrac {3}{2}}\ln A+{\tfrac {5}{24}}\ln 2+{\tfrac {1}{4}}\ln \pi ,$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{{\rm {e}}^{2\pi x}-1}}\,{\rm {d}}x={\tfrac {1}{2}}\zeta '(-1)={\tfrac {1}{24}}-{\tfrac {1}{2}}\ln A.$

Представлення ряду для цієї константи випливає з ряду для дзета-функції Рімана, наданого Гельмутом Гассе:

$\ln A={\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{2}\ln(k+1).$

Література

• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. The Ramanujan Journal. 16 (3): 247—270. arXiv:math.NT/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID 14910435.
• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. Ramanujan Journal. 16 (3): 247—270. arXiv:math/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID 14910435. (Provides a variety of relationships.)
• Weisstein, Eric W. Glaisher–Kinkelin Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Посилання

• The Glaisher–Kinkelin constant to 20,000 decimal places