Сферичний рух

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Сфери́чний рух (англ. spherical motion) або оберта́ння навко́ло нерухо́мої то́чки — рух твердого тіла, при якому якась одна його точка залишається нерухомою, а всі інші точки рухаються по поверхнях сфер, що мають центр у цій точці.

Кінематика сферичного руху[ред. | ред. код]

Ейлерові кути[ред. | ред. код]

Докладніше: Ейлерові кути
Ейлерові кути

При сферичному русі тверде тіло має три ступені вільності. Три параметри, які б визначали положення такого тіла відносно нерухомої декартової системи координат з осями початкової системи відліку x, y, z та осями системи, що обертається X, Y, Z (див. рис), можуть бути обрані різними способами. У теоретичній механіці положення тіла з однією нерухомою точкою, зазвичай, визначають за допомогою кутів Ейлера, які вводяться наступним способом:

  • Кут прецесії α (або ) це кут між віссю x і лінією вузлів N.
  • Кут нутації β (або ) це кут між віссю z і віссю Z.
  • Кут власного обертання γ (або ) це кут між віссю N і віссю X.

Лінія вузлів (N) є перетином координатних площин xy та XY.

В цьому визначенні мається на увазі, що:

  • α задає кут обертання довкола осі z,
  • β задає кут обертання довкола осі N,
  • γ задає кут обертання довкола осі Z.

Якщо β є нульовим, тоді обертання довкола осі N не відбувалося. Як наслідок, Z збігається із z, α і γ задають поворот довкола однієї і тієї ж осі (z), і результуюче положення можна отримати лише за допомогою повороту довкола осі z, на значення кута, яке дорівнює α+γ.

Замість позначень α, β, γ можуть мати місце також φ, θ, ψ.

Кут прецесії і кут власного обертання змінюється в межах від нуля до 2π;. Кут нутації — від нуля до π.

Положення точки при сферичному русі[ред. | ред. код]

Відлік усіх кутів (α, β, γ) від осей x, z і N ведеться проти годинникової стрілки. Отже рівності:

задають рівняння руху тіла при обертанні навколо нерухомої точки.

Швидкість при сферичному русі[ред. | ред. код]

Швидкість будь-якої точки з координатами в рухомій системі відліку X, Y, Z тіла, що здійснює сферичний рух може бути визначена за формулою у вигляді векторного добутку:

де  — одиничні вектори рухомої системи координат;

 — проекції вектора кутової швидкості на рухомі координати.

Кутова швидкість у проекціях на рухомі координати виражена через кути Ейлера (кінематичні рівняння Ейлера):

Геометричне місце точок, швидкість яких дорівнює нулю, визначається з рівняння

яке являє собою умову колінеарності векторів і . Це векторне рівняння у системі координат XYZ, пов'язаній з тілом, можна записати у вигляді

яке є рівнянням прямої лінії, напрямні косинуси якої пропорційні до проекцій кутової швидкості . У загальному випадку вектор і його проекції є функціями часу, тому положення прямої змінюється як відносно тіла, так і відносно нерухомої системи координат. Пряма, у кожній точці якої швидкості точок тіла у даний момент часу рівні нулю, називається миттєвою віссю обертання або миттєвою віссю швидкостей. Вектор завжди спрямований по миттєвій осі обертання.

Формула для обчислення швидкості руху довільної точки тіла в умовах сферичного руху збігається за формою з виразом для швидкостей точок твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю . Отже, швидкості точок твердого тіла при сферичному русі розподіляються так, наче тіло обертається навколо осі, що збігається в даний момент часу з миттєвою віссю обертання. Зокрема, модуль швидкості точки в даний момент визначається рівністю

де h — відстань від точки до миттєвої осі обертання. Швидкість точки спрямована перпендикулярно до площини, що проходить через її радіус-вектор і миттєву вісь обертання.

Прискорення при сферичному русі[ред. | ред. код]

Виходячи з означення прискорення та на основі рівності, записаної для визначення кутової швидкості, можна записати:

Але

, а

отже,

Отже, прискорення можна подати у вигляді векторної суми двох прискорень обертального (перший доданок) і доосьового (другий доданок).

Основний закон динаміки обертального руху[ред. | ред. код]

Похідна по часу від моменту імпульсу механічної системи відносно нерухомої інерційної системи відліку точки або центру інерції системи дорівнює головному моменту відносно тієї ж точки усіх зовнішніх сил , прикладених до системи:

.

Це рівняння є виразом основного закону динаміки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої точки.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • Кільчевський М. О. Курс теоретичної механіки. Т. 1. — К.: Вища школа, 1972. — 376 с.
  • Павловський М. А. Теоретична механіка: Підручник для студентів вищих навчальних закладів. — К.: Техніка, 2002. — 512 с. ISBN 966-575-184-0.
  • Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1986. — 416 с.
  • Токар А. М. Теоретична механіка. Кінематика (методи і задачі). — К.: Либідь, 2001. — 416 с.

Посилання[ред. | ред. код]