Сферичний рух

Сфери́чний рух (англ. spherical motion) або оберта́ння навко́ло нерухо́мої то́чки — рух твердого тіла, при якому якась одна його точка залишається нерухомою, а всі інші точки рухаються по поверхнях сфер, що мають центр у цій точці.

Кінематика сферичного руху

Ейлерові кути

Ейлерові кути

При сферичному русі тверде тіло має три ступені вільності. Три параметри, які б визначали положення такого тіла відносно нерухомої декартової системи координат з осями початкової системи відліку x, y, z та осями системи, що обертається X, Y, Z (див. рис), можуть бути обрані різними способами. У теоретичній механіці положення тіла з однією нерухомою точкою, зазвичай, визначають за допомогою кутів Ейлера, які вводяться наступним способом:

• Кут прецесії α (або $\varphi$) це кут між віссю x і лінією вузлів N.
• Кут нутації β (або $\theta$) це кут між віссю z і віссю Z.
• Кут власного обертання γ (або $\psi$) це кут між віссю N і віссю X.

Лінія вузлів (N) є перетином координатних площин xy та XY.

В цьому визначенні мається на увазі, що:

• α задає кут обертання довкола осі z,
• β задає кут обертання довкола осі N,
• γ задає кут обертання довкола осі Z.

Якщо β є нульовим, тоді обертання довкола осі N не відбувалося. Як наслідок, Z збігається із z, α і γ задають поворот довкола однієї і тієї ж осі (z), і результуюче положення можна отримати лише за допомогою повороту довкола осі z, на значення кута, яке дорівнює α+γ.

Замість позначень α, β, γ можуть мати місце також φ, θ, ψ.

Кут прецесії і кут власного обертання змінюється в межах від нуля до 2π;. Кут нутації — від нуля до π.

Положення точки при сферичному русі

Відлік усіх кутів (α, β, γ) від осей x, z і N ведеться проти годинникової стрілки. Отже рівності:

$\alpha =\alpha (t),\beta =\beta (t),\gamma =\gamma (t)$

задають рівняння руху тіла при обертанні навколо нерухомої точки.

Швидкість при сферичному русі

Швидкість будь-якої точки з координатами в рухомій системі відліку X, Y, Z тіла, що здійснює сферичний рух може бути визначена за формулою у вигляді векторного добутку:

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\\omega _{X}&\omega _{Y}&\omega _{Z}\\X&Y&Z\end{vmatrix}},$

де ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ — одиничні вектори рухомої системи координат;

$\omega _{X},\omega _{Y},\omega _{Z}$ — проєкції вектора кутової швидкості на рухомі координати.

Кутова швидкість у проєкціях на рухомі координати виражена через кути Ейлера (кінематичні рівняння Ейлера):

${\begin{cases}\omega _{X}={\dot {\beta }}\cos \alpha +{\dot {\gamma }}\sin \beta \sin \alpha ;\\\omega _{Y}={\dot {\gamma }}\sin \beta \cos \alpha -{\dot {\beta }}\sin \alpha ;\\\omega _{Z}={\dot {\alpha }}+{\dot {\gamma }}\cos \beta \end{cases}}$

Геометричне місце точок, швидкість яких дорівнює нулю, визначається з рівняння

${\vec {\omega }}\times {\vec {r}}=0,$

яке являє собою умову колінеарності векторів ${\vec {\omega }}$ і ${\vec {r}}$. Це векторне рівняння у системі координат XYZ, пов'язаній з тілом, можна записати у вигляді

${\frac {X}{\omega _{X}}}={\frac {Y}{\omega _{Y}}}={\frac {Z}{\omega _{Z}}},$

яке є рівнянням прямої лінії, напрямні косинуси якої пропорційні до проєкцій кутової швидкості ${\vec {\omega }}$. У загальному випадку вектор ${\vec {\omega }}$ і його проєкції є функціями часу, тому положення прямої змінюється як відносно тіла, так і відносно нерухомої системи координат. Пряма, у кожній точці якої швидкості точок тіла у даний момент часу рівні нулю, називається миттєвою віссю обертання або миттєвою віссю швидкостей. Вектор ${\vec {\omega }}$ завжди спрямований по миттєвій осі обертання.

Формула для обчислення швидкості руху довільної точки тіла в умовах сферичного руху збігається за формою з виразом для швидкостей точок твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю ${\vec {\omega }}$ . Отже, швидкості точок твердого тіла при сферичному русі розподіляються так, наче тіло обертається навколо осі, що збігається в даний момент часу з миттєвою віссю обертання. Зокрема, модуль швидкості точки в даний момент визначається рівністю

$v=\omega h,$

де h — відстань від точки до миттєвої осі обертання. Швидкість точки спрямована перпендикулярно до площини, що проходить через її радіус-вектор ${\vec {r}}$ і миттєву вісь обертання.

Прискорення при сферичному русі

Виходячи з означення прискорення та на основі рівності, записаної для визначення кутової швидкості, можна записати:

${\vec {w}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d\left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\right)}{dt}}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}.$

Але

${\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$, а ${\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}={\vec {\epsilon }},$

отже,

${\vec {w}}={\vec {\epsilon }}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}.$

Отже, прискорення ${\vec {w}}$ можна подати у вигляді векторної суми двох прискорень обертального (перший доданок) і доосьового (другий доданок).

Основний закон динаміки обертального руху

Похідна по часу від моменту імпульсу механічної системи ${\vec {L}}_{0}$ відносно нерухомої інерційної системи відліку точки або центру інерції системи дорівнює головному моменту відносно тієї ж точки усіх зовнішніх сил ${\vec {M}}^{e}$, прикладених до системи:

${\frac {d{\vec {L}}_{0}}{dt}}={\vec {M}}^{e}$.

Це рівняння є виразом основного закону динаміки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої точки.

Див. також

• Миттєвий центр швидкостей
• Теорема обертання Ейлера
• Обертання навколо фіксованої осі

Джерела

• Кільчевський М. О. Курс теоретичної механіки. Т. 1. — К.: Вища школа, 1972. — 376 с.
• Павловський М. А. Теоретична механіка: Підручник для студентів вищих навчальних закладів. — К.: Техніка, 2002. — 512 с. ISBN 966-575-184-0.
• Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1986. — 416 с.
• Токар А. М. Теоретична механіка. Кінематика (методи і задачі). — К.: Либідь, 2001. — 416 с.

Посилання

• Рейтій О. К. Теоретична механіка (методичний посібник з лабораторних робіт). Частина І. Кінематика. [Архівовано 14 червня 2018 у Wayback Machine.] — Ужгород: Видавництво УжНУ «Говерла», 2006. — 64 с.