Теорема Адамара — Картана
| Теорема Адамара — Картана | |
| Названо на честь | Елі Жозеф Картан і Жак Соломон Адамар |
|---|---|
| Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
У математиці теорема Картана — Адамара — це твердження в рімановій геометрії щодо структури повних ріманових многовидів недодатної секційної кривини. Теорема стверджує, що універсальне покриття такого різноманіття дифеоморфне евклідовому простору через експоненціальне відображення в будь-якій точці. Вперше це довів Ганс Карл Фрідріх фон Мангольдт[en] для поверхонь у 1881 році та незалежно Жак Адамар у 1898 році. Елі Картан узагальнив теорему на ріманові многовиди у 1928 році. Далі теорема була узагальнена на широкий клас метричних просторів Михайлом Громовим у 1987 році; докладні докази були опубліковані Баллманом (1990)[1] для метричних просторів неподатної кривини та Александером і Бішопом (1990)[2] для загальних локально опуклих метричних просторів.
Формулювання[ред. | ред. код]
Теорема Картана — Адамара стверджує, що простір універсального накриття зв'язаного повного ріманова многовиду недодатної секційної кривини діффеоморфне евклидовому простору. Щобільше, експоненційне відображення в будь-якій точці є дифеоморфізмом.
Значимість[ред. | ред. код]
Теорема Картана — Адамара надає приклад локально-глобальної відповідності в римановій і метричній геометрії: а саме, локальна умова (недодатна кривина) і глобальна умова (проста зв'язність) разом означають сильну глобальну властивість (скорочуваність).); або в рімановому випадку дифеоморфізм з R'n.
Метрична форма теореми демонструє, що багатогранний комірковий комплекс з не додатною кривою є асферичним. Цей факт має вирішальне значення для сучасної геометричної теорії груп.
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ Ballmann, Werner (1990). Ghys, Etienne; de la Harpe, Pierre (ред.). Singular Spaces of Non-Positive Curvature. Sur les Groupes Hyperboliques d’après Mikhael Gromov (англ.). Boston, MA: Birkhäuser. с. 189—201. doi:10.1007/978-1-4684-9167-8_10. ISBN 978-1-4684-9167-8.
- ↑ Zuerich, ETH-Bibliothek. THE HADAMARD-CARTAN THEOREM IN LOCALLY CONVEX METRIC SPACES. E-Periodica (нім.). Процитовано 26 лютого 2024.