Трикутник Герона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Геронів трикутниктрикутник, сторони і площа якого є цілими числами[1][2]. Геронові трикутники названі на честь грецького математика Герона. Термін іноді розуміється дещо ширше і поширюється на трикутники, що мають раціональні сторони і площу[3].

Властивості[ред. | ред. код]

Всі прямокутні трикутники, сторони яких утворюють піфагорові трійки, є героновими, оскільки сторони їх за визначенням цілочислені, а площа теж цілочислена, оскільки є половиною твори множення, один з яких обов'язково має парну довжину.

Трикутник зі сторонами c, e і b + d, і висотою a.

В якості прикладу геронова трикутника, який не має прямого кута, можна навести рівнобедрений трикутник зі сторонами 5, 5 і 6, площа якого дорівнює 12. Цей трикутник виходить шляхом об'єднання двох прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5 уздовж сторони завдовжки 4. Цей підхід працює і в загальному випадку, як показано на малюнку справа. Береться піфагорова трійка (a, b, c), де c — найбільша сторона, потім інша трійка (a, d, e), в якій найбільшою стороною буде e, будуються трикутники за заданими довжинами сторін і об'єднуються вздовж сторони з довжиною a, одержуючи трикутник зі сторонами c, e і b + d і площею

(половина добутку основи на висоту).

Якщо a парна, то площа буде цілим числом. Менш очевидний випадок, коли a непарна, але і в цьому випадку A залишається цілим, оскільки сторони b і d повинні бути парними числами, а отже, і b+d буде парним теж.

Деякі геронові трикутники неможливо отримати об'єднанням прямокутних трикутників з цілочисельними сторонами методом, описаним вище. Так, наприклад, геронів трикутник зі сторонами 5, 29, 30 і площею 72 не можна отримати з двох піфагорових трикутників, оскільки жодна з його вершин не є цілим числом. Не можна також побудувати примітивний піфагорів трикутник з двох менших піфагорових трикутників[4]. Такі геронові трикутники називаються нерозкладними. Однак, якщо дозволити піфагорові трійки з раціональними значеннями, відмовившись від цілочисленості, то розбиття на два прямокутних трикутника з раціональними сторонами завжди існує[5], оскільки всі висоти геронова трикутника є раціональними числами (оскільки висота дорівнює подвоєній площі, діленій на основу, і обидва ці числа є цілими). Так, геронів трикутник зі сторонами 5, 29, 30 можна отримати з раціональних піфагорових трикутників зі сторонами 7/5, 24/5, 5 і 143/5, 24/5, 29. Зауважимо, що раціональні піфагорові трійки є просто версіями цілочисельних піфагорових трійок, поділених на ціле число.

Точна формула для геронових трикутників[ред. | ред. код]

Будь-який геронів трикутник має сторони, пропорційні значенням[6]

Півпериметр
Площа
Радіус вписаного кола

для цілих m, n і k, де

.

Коефіцієнт пропорційності в загальному випадку є раціональним числом , де приводить отриманий геронів трикутник до примітивного, а розтягує його до необхідних розмірів. Наприклад, взявши m = 36, n = 4 і k = 3, отримаємо трикутник зі сторонами a = 5220, b = 900 і c = 5400, який подібний геронову трикутнику 5, 29, 30, і коефіцієнт пропорційності має чисельник p = 1 і знаменник q = 180.

Оскільки площа правильного трикутника з раціональними сторонами є ірраціональним числом, ніякий рівносторонній трикутник не може бути героновим. Однак існує послідовність геронових трикутників, які «майже правильні», оскільки їх сторони мають вигляд n − 1, n, n + 1. Кілька перших прикладів цих майже рівносторонніх трикутників перераховані в таблиці нижче (послідовність A003500 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Приклади[ред. | ред. код]

Список примітивних цілочисельних геронових трикутників, відсортований по площі і, в разі рівності площ, по периметру. «Примітивний» означає, що найбільший загальний дільник трьох довжин сторін дорівнює 1.

Площа Периметр Довжина сторін
6 12 5 4 3
12 16 6 5 5
12 18 8 5 5
24 32 15 13 4
30 30 13 12 5
36 36 17 10 9
36 54 26 25 3
42 42 20 15 7
60 36 13 13 10
60 40 17 15 8
60 50 24 13 13
60 60 29 25 6
66 44 20 13 11
72 64 30 29 5
84 42 15 14 13
84 48 21 17 10
84 56 25 24 7
84 72 35 29 8
90 54 25 17 12
90 108 53 51 4
114 76 37 20 19
120 50 17 17 16
120 64 30 17 17
120 80 39 25 16
126 54 21 20 13
126 84 41 28 15
126 108 52 51 5
132 66 30 25 11
156 78 37 26 15
156 104 51 40 13
168 64 25 25 14
168 84 39 35 10
168 98 48 25 25
180 80 37 30 13
180 90 41 40 9
198 132 65 55 12
204 68 26 25 17
210 70 29 21 20
210 70 28 25 17
210 84 39 28 17
210 84 37 35 12
210 140 68 65 7
210 300 149 148 3
216 162 80 73 9
234 108 52 41 15
240 90 40 37 13
252 84 35 34 15
252 98 45 40 13
252 144 70 65 9
264 96 44 37 15
264 132 65 34 33
270 108 52 29 27
288 162 80 65 17
300 150 74 51 25
300 250 123 122 5
306 108 51 37 20
330 100 44 39 17
330 110 52 33 25
330 132 61 60 11
330 220 109 100 11
336 98 41 40 17
336 112 53 35 24
336 128 61 52 15
336 392 195 193 4
360 90 36 29 25
360 100 41 41 18
360 162 80 41 41
390 156 75 68 13
396 176 87 55 34
396 198 97 90 11
396 242 120 109 13

Порівнянні трикутники[ред. | ред. код]

Фігура називається порівняною, якщо площа дорівнює периметру. Є рівно п'ять порівнянних геронових трикутників — (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) і (9,10,17)[7][8]

Майже рівносторонні геронові трикутники[ред. | ред. код]

Оскільки площа рівностороннього трикутника з раціональними сторонами є ірраціональним числом, жоден рівносторонній трикутник не є трикутником Герона. Однак послідовність рівнобедрених трикутників Герона, які є «майже рівносторонніми», можна сконструювати подвоєнням прямокутних трикутників, у яких гіпотенуза майже удвічі довша за один із катетів. Перші кілька прикладів цих майже рівносторонніх трикутників наведено в наступній таблиці (послідовність A102341 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

Довжина сторони Площа
a b=a c
5 5 6 12
17 17 16 120
65 65 66 1848
241 241 240 25080
901 901 902 351780
3361 3361 3360 4890480
12545 12545 12546 68149872
46817 46817 46816 949077360

Існує унікальна послідовність трикутників Герона, які є «майже рівносторонніми», у яких три сторони мають вигляд n − 1, n, n + 1. Перші кілька прикладів цих майже рівносторонніх трикутників наведено в наступній таблиці (послідовність A003500 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

Довжина сторони Площа Радіус вписаного кола
n − 1 n n + 1
3 4 5 6 1
13 14 15 84 4
51 52 53 1170 15
193 194 195 16296 56
723 724 725 226974 209
2701 2702 2703 3161340 780
10083 10084 10085 44031786 2911
37633 37634 37635 613283664 10864

Наступне значення для n можна знайти, помноживши попереднє на 4, а потім віднявши значення, яке йому передує (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, і т. д.). Таким чином,

,

де t означає номер рядка в таблиці. Ця послідовність є послідовністю Люка. Можна також отримати цю послідовність за формулою для всіх n. Якщо покласти A = площа, а y = радіус вписаного кола, то

,

де {n, y} є рішеннями рівняння n2 − 12y2 = 4. Невелика підстановка n = 2x дає відоме рівняння Пелля x2 − 3y2 = 1, рішення якого можна отримати з розкладання √3 в безперервний дріб[9]

Змінна n має вигляд , де k дорівнює 7, 97, 1351, 18817, .... Числа в цій послідовності мають властивість, що k послідовних цілих мають цілочисельне середньоквадратичне відхилення.[10]

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Carlson, 1970, с. 499—506.
  2. Beauregard, Suryanarayan, 1998, с. 13—17.
  3. Eric W. Weisstein. Heronian Triangle.
  4. Yiu, 2008, с. 17.
  5. Sierpiński, 2003.
  6. Carmichael, 1959, с. 11—13.
  7. Dickson, 2005, с. 199.
  8. Markowitz, 1981, с. 222—3.
  9. Richardson, 2007.
  10. Online Encyclopedia of Integer Sequences, OEISA011943.

Посилання[ред. | ред. код]