Унарна система числення
| Системи числення |
|---|
 |
| Індо-арабська система числення |
| Східна Азія |
| Алфавітні |
| Давні |
| Позиційні системи числення за основою |
| Не стандартні позиційні системи числення[en] |
| Список систем числення[en] |
Унарна система числення — це бієктивна[en] система числення із базисом-1. Це найпростіша система числення для представлення дійсних чисел:[1] для того, щоб в ній представити число N, довільно вибраний символ, який використовується як 1 повторюється N разів.[2] Наприклад, числа 1, 2, 3, 4, 5, … будуть виглядати в такій системі як показано нижче[3]
- 1, 11, 111, 1111, 11111, …
Ці числа не слід плутати із репюнітами, які також задаються у вигляді послідовностей одиниць але мають свою звичайне десяткову числову інтерпретацію.
Застосування[ред. | ред. код]
Унарні числа використовуються в деяких алгоритмах стиснення даних, таких як код Голомба.[4] Це поняття також є основою для аксіом Пеано, що формалізують арифметику в рамках математичної логіки.[5] Форма унарної нотації, яка називається кодування Черча[en] використовується для представлення чисел в Лямбда-численні.[6]
Складність[ред. | ред. код]
У порівнянні зі стандартним позиційним записом, унарна система незручна і тому не використовується на практиці для великих обчислень. Вона зустрічається в описах деяких проблем вибору в теорії алгоритмів (наприклад в деяких P-повних[en] задачах), де її використовують, щоб «штучно» зменшити час виконання або просторові вимоги задачі. Наприклад, підозрюють, що задача факторизації цілих чисел вимагає часу виконання більшого ніж поліномна функція від довжини її входу в двійковому записі, але їй потрібен лише лінійний час якщо вхід представлено унарно.[7] Однак, це потенційно оманливо. Використання унарного входу повільніше для будь-якого заданого числа, не швидше. Відмінність у тому, що двійковий (або більшої основи) вхід пропорційний логаритму з основою два (або більше) числа тоді як унарний вхід пропорційний самому числу. Отже, хоча з унарною системою час виконання і просторові вимоги як функції від довжини входу виглядають краще, вони не представляють дієвішого розв'язання.[8]
У теорії складності обчислень, унарні числа використовуються, щоб відрізнити сильно NP-повні[en] задачі від NP-повних, але не сильно NP-повних. Задача, що має на вході якісь числові параметри сильно NP-повна, якщо вона залишається NP-повною навіть коли розмір входу штучно збільшують переводячи його в унарну систему. Для такої задачі, існують складні випадки для яких значення всіх параметрів майже поліномно великі.[9]
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ Hodges, Andrew (2009), One to Nine: The Inner Life of Numbers, Anchor Canada, с. 14, ISBN 9780385672665,
The simplest way to write the natural numbers is by the unary notation
. - ↑ Davis, Martin; Sigal, Ron; Weyuker, Elaine J. (1994), Computability, Complexity, and Languages: Fundamentals of Theoretical Computer Science, Computer Science and Scientific Computing (вид. 2nd), Academic Press, с. 117, ISBN 9780122063824,
the base 1 (or unary) representation of the number x is simply a string of ones of length x
. - ↑ Hext, Jan (1990), Programming Structures: Machines and programs, Programming Structures, т. 1, Prentice Hall, с. 33, ISBN 9780724809400.
- ↑ Golomb, S.W. (1966), Run-length encodings, IEEE Transactions on Information Theory, IT-12 (3): 399—401, doi:10.1109/TIT.1966.1053907.
- ↑ Magaud, Nicolas; Bertot, Yves (2002), Changing data structures in type theory: a study of natural numbers, Types for proofs and programs (Durham, 2000), Lecture Notes in Comput. Sci., т. 2277, Springer, Berlin, с. 181—196, doi:10.1007/3-540-45842-5_12, MR 2044538.
- ↑ Jansen, Jan Martin (2013), Programming in the λ-calculus: from Church to Scott and back, The Beauty of Functional Code: Essays Dedicated to Rinus Plasmeijer on the Occasion of His 61st Birthday, Lecture Notes in Computer Science, т. 8106, Springer-Verlag, с. 168—180, doi:10.1007/978-3-642-40355-2_12.
- ↑ Arora, Sanjeev; Barak, Boaz (2007), The computational model —and why it doesn't matter [Обчислювальна модель і чому вона не має значення] (PDF), Computational Complexity: A Modern Approach [Обчислювальна складність: Сучасний підхід] (вид. січень 2007, чорнетка), Cambridge University Press, §17, с. 32–33, процитовано 10 травня 2017.
- ↑ Moore, Cristopher; Mertens, Stephan (2011), The Nature of Computation [Природа обчислень], Oxford University Press, с. 29, ISBN 9780199233212.
- ↑ Garey, M. R.; Johnson, D. S. (1978), 'Strong' NP-completeness results: Motivation, examples, and implications [Висліди в сильній NP-повноті: Спонука, приклади і наслідки], Journal of the ACM, 25 (3): 499—508, doi:10.1145/322077.322090, MR 0478747, S2CID 18371269.