Картина Гейзенберга

Картина Гейзенберга — один із методів опису квантовомеханічних явищ. Ідея методу полягає в тому, що залежність від часу переноситься з хвильових функцій на оператори фізичних величин, на відміну від картини Шредінгера, де залежність від часу закладається до хвильових функцій. Така картина дає явну залежність операторів від часу, а хвильові функції залишаються сталими.

Перехід до картини Гейзенберга

Якщо ввести унітарний оператор еволюції ${\hat {U}}(t,0)$, що діє за правилом:

$|\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,0)|\psi (0)\rangle ,$

то можна записати середнє значення деякого оператора ${\hat {A}}$ в стані $|\psi (t)\rangle$ таким чином:

$\langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi (t)|{\hat {A}}|\psi (t)\rangle =\langle \psi (0)|{\hat {U}}^{\dagger }(t,0){\hat {A}}{\hat {U}}(t,0)|\psi (0)\rangle \equiv \langle \psi (0)|{\hat {A}}_{H}(t)|\psi (0)\rangle .$

Таким чином, залежність від часу переноситься з хвильової функції на оператор:

${\hat {A}}_{H}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t,0){\hat {A}}{\hat {U}}(t,0)$

Рівняння руху для операторів

Якщо записати рівняння Шредінгера:

$i\hbar {\frac {\partial \left|\psi (t)\right\rangle }{\partial t}}={\hat {H}}\left|\psi (t)\right\rangle$

і вважати, що гамільтоніан ${\hat {H}}$ не залежить від часу, то оператор еволюції має такий вигляд:

${\hat {U}}(t)=e^{-{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}}.$

Далі, якщо взяти повну похідну від оператора ${\hat {A}}_{H}(t)$ за часом, то:

${\frac {d{\hat {A}}_{H}(t)}{dt}}={\frac {\partial {\hat {A}}_{H}(t)}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}e^{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}{\hat {A}}e^{-{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}}-{\frac {i}{\hbar }}e^{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}{\hat {A}}e^{-{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}}{\hat {H}}={\frac {\partial {\hat {A}}_{H}(t)}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}{\hat {A}}_{H}(t)-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {A}}_{H}(t){\hat {H}}.$

Остаточно, якщо записати отриманий вираз через комутатор, маємо рівняння руху для операторів:

$i\hbar {\frac {d{\hat {A}}_{H}(t)}{dt}}=i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{H}(t)}{\partial t}}+[{\hat {A}}_{H}(t),{\hat {H}}].$

Якщо оператор ${\hat {A}}_{H}$ явно не залежить від часу, рівняння руху має вигляд:

$i\hbar {\frac {d{\hat {A}}_{H}}{dt}}=[{\hat {A}}_{H},{\hat {H}}],$

звідки можна зробити такий висновок: якщо оператор фізичної величини, який явно не залежить від часу, комутує з гамільтоніаном ${\hat {H}}$, то відповідна фізична величина зберігається.

Див. також

• Картина Шредінгера
• Картина взаємодії

Література

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М. : Наука, 1978. — Т. 1. — 480 с.