Картина Гейзенберга

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи

Картина Гейзенберга — один із методів опису квантовомеханічних явищ. Ідея методу полягає в тому, що залежність від часу переноситься з хвильових функцій на оператори фізичних величин, на відміну від картини Шредінгера, де залежність від часу закладається до хвильових функцій. Така картина дає явну залежність операторів від часу, а хвильові функції залишаються сталими.

Перехід до картини Гейзенберга[ред.ред. код]

Якщо ввести унітарний оператор еволюції \hat{U}(t,0), що діє за правилом:

| \psi(t) \rangle = \hat{U}(t,0) | \psi(0) \rangle,

то можна записати середнє значення деякого оператора \hat{A} в стані | \psi(t) \rangle таким чином:

 \langle \hat{A} \rangle = \langle \psi(t) | \hat{A} | \psi(t) \rangle = \langle \psi(0) | \hat{U}^{\dagger}(t,0) \hat{A} \hat{U}(t,0) | \psi(0) \rangle \equiv \langle \psi(0) | \hat{A}_H(t)| \psi(0) \rangle.

Таким чином, залежність від часу переноситься з хвильової функції на оператор:

\hat{A}_H(t) = \hat{U}^{\dagger}(t,0) \hat{A} \hat{U}(t,0)

Рівняння руху для операторів[ред.ред. код]

Якщо записати рівняння Шредінгера:

i\hbar\frac{\partial \left| \psi(t) \right\rangle}{\partial t}=\hat{H}\left| \psi(t) \right\rangle

і вважати, що гамільтоніан \hat{H} не залежить від часу, то оператор еволюції має наступний вигляд:

\hat{U}(t) = e^{-\frac{i \hat{H} t}{\hbar}}.

Далі, якщо взяти повну похідну від оператора \hat{A}_H(t) за часом, то:

\frac{d\hat{A}_H(t)}{dt} = \frac{\partial \hat{A}_H(t)}{\partial t} + \frac{i}{\hbar} \hat{H} e^{\frac{i \hat{H} t}{\hbar}} \hat{A} e^{-\frac{i \hat{H} t}{\hbar}} - \frac{i}{\hbar} e^{\frac{i \hat{H} t}{\hbar}} \hat{A} e^{-\frac{i \hat{H} t}{\hbar}} \hat{H} = \frac{\partial \hat{A}_H(t)}{\partial t} + \frac{i}{\hbar} \hat{H} \hat{A}_H(t) - \frac{i}{\hbar} \hat{A}_H(t) \hat{H}.

Остаточно, якщо записати отриманий вираз через комутатор, маємо рівняння руху для операторів:

i \hbar \frac{d\hat{A}_H(t)}{dt} = i \hbar \frac{\partial \hat{A}_H(t)}{\partial t} + [\hat{A}_H(t), \hat{H}].

Якщо оператор \hat{A}_H явно не залежить від часу, рівняння руху має вигляд:

i \hbar \frac{d\hat{A}_H}{dt} = [\hat{A}_H, \hat{H}],

звідки можна зробити наступний висновок: якщо оператор фізичної величини, який явно не залежить від часу, комутує з гамільтоніаном \hat{H}, то відповідна фізична величина зберігається.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 480 с.