Момент зупину або марковський момент часу в теорії випадкових процесів — це випадкова величина, яка не залежить від майбутнього розглянутого випадкового процесу.
Дискретний випадок
Визначення
Нехай дана послідовність випадкових величин
. Тоді випадкова величина
називається марковським моментом (часу), якщо для будь-якого
подія
залежить тільки від випадкових величин
.
Приклад
нехай
— послідовність незалежних нормальних випадкових величин. Нехай
, і
![{\displaystyle \tau =\inf\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd702bb1775e950aacafda4c561bed1e6443b05)
— момент першого досягнення процесом
рівня
. Тоді
- марковський момент, бо
тоді і тільки тоді, коли існує
таке, що
. Таким чином подія
залежить лише від поведінки процесу до моменту часу
.
Нехай тепер
![{\displaystyle \sigma =\sup\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd3cc743a5def91ef7f06b25e2adf1556108a7a)
— момент останнього досягнення процесом
рівня
. Тоді
не є марковським моментом, бо подія
передбачає знання поведінки процесу в майбутньому.
Загальний випадок
Визначення
- Нехай дано ймовірнісний простір
з фільтрацією
, де
. Тоді випадкова величина
, яка приймає значення в
називається марковським моментом відносно даної фільтрації, якщо
.
- Якщо дано процес
, і
- його природні σ-алгебри, то кажуть, що
— марковський момент відносно процесу
.
- Марковський момент називається моментом зупинки, якщо він скінченний майже напевно, тобто:
.
Властивості
Якщо
і
— марковські моменти, то
— марковський момент;
— марковський момент;
— марковський момент.
Зауваження
Момент зупинки може не мати скінченного математичного сподівання.
Приклад
Нехай
— стандартний вінерівський процес. Нехай
. Визначимо
.
Тоді
— марковський момент, який має розподіл, що задається щільністю ймовірності
.
Зокрема
— момент зупинки. Проте,
.
Контрприклад
Розглянемо пацюка у відкритому лабіринті, в якому пацюк зрештою виходить на свободу і ніколи вже не повертається в лабіринт. Припустимо, що пацюк стартує у комірці 1;
Нехай
позначає час коли пацюк відвідав комірку 1 востаннє перед тим як покинути лабіринт:
Очевидно, що ви мусимо знати майбутнє, щоб визначити цей час.
Див. також
| В іншому мовному розділі є повніша стаття Stopping time(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської.
- Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».
- Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
- Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
- Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
- Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.
|