Відрізок

Геометричне визначення замкненого лінійного відрізку: перетин усіх точок праворуч від A з усіма точками лівіше від B, включаючи самі точки A і B

Історичне зображення – малювання лінійного відрізку (1699)

Відрізок — частина прямої, обмежена двома точками.

Визначення

Якщо $V\,\!$ векторний простір над $\mathbb {R}$ або $\mathbb {C}$, і $L\,\!$ це підмножина $V,\,\!$ тоді $L\,\!$ відрізок якщо $L\,\!$ може бути заданий як

$L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}$

для деякого вектора $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!$, в такому випадку вектори $\mathbf {u}$ та $\mathbf {u+v}$ називаються кінцевими точками відрізка $L.\,\!$

Іноді нам потрібно розрізняти "відкриті" та "закриті" відрізки. Тоді закритий відрізок визначається як було вказано вище, а відкритий відрізок як підмножина $L\,\!$, параметризована як

$L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}$

для деяких векторів $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!$.

Альтернативне визначення таке: Відрізок (замкнутий) це опукла оболонка двох точок.

Відрізок числової прямої

Відрізок числової (координатної) прямої (числовій відрізок, сегмент) — множина дійсних чисел $x~$, таких що задовольняють нерівності $a\leq x\leq b$, де заздалегідь завдані дійсні числа $a~$ і $b~$ $(a<b)~$ називаються кінцями відрізка. На противагу до них, інші числа $x~$, що задовольняють нерівності $a<x<b~$, називаються внутрішніми точками відрізка.

Відрізок зазвичай позначається $[a,b]$:

$[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}$.

Відрізок є замкнутим проміжком.

Число $b-a\,$ називається довжиною числового відрізка $[a,b]$.

Стяжна система сегментів

Система сегментів — нескінченна послідовність елементів множини відрізків на числовій прямій $\{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}$.

Система сегментів позначається $\{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }$. Мається на увазі, що кожному натуральному числу $~n$ зіставлений у відповідність відрізок $~[a_{n},b_{n}]$.

Система сегментів $\{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }$ називається стяжною, якщо

• кожний наступний відрізок міститься в попередньому;

  $\forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]$

• відповідна послідовність довжин відрізків нескінченно мала.

  $\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0$

В будь-якій стяжній системі сегментів існує єдина точка, що належить всім сегментам системи.

$\forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}]$

Цей факт випливає з властивостей монотонної послідовності.

Див. також

• Проміжок
• Пряма
• Промінь
• Інтервал
• Напівінтервал
• Віддаль між двома точками