Кількості інформації

Проста інформаційна діаграма, що показує адитивні та різницеві відношення серед шеннонових базових кількостей інформації для корельованих змінних $X$ та $Y$. Область, яка міститься в обох колах, є спільною ентропією $\mathrm {H} (X,Y)$. Коло ліворуч (червоний і фіолетовий) є особистою ентропією $\mathrm {H} (X)$, в якому червоне є умовною ентропією $\mathrm {H} (X|Y)$. Коло праворуч (синій та фіолетовий) є $\mathrm {H} (Y)$, а синє в ньому є $\mathrm {H} (Y|X)$. Фіолетове є взаємною інформацією $\operatorname {I} (X;Y)$.

Математична теорія інформації ґрунтується на теорії ймовірності й статистиці, і вимірює інформацію за допомогою декількох кількостей інформації (англ. quantities of information). Застосовувану в наступних формулах одиницю інформаційної ентропії визначає вибір логарифмічної основи. Найзвичнішою одиницею інформації є біт, що ґрунтується на двійковому логарифмі. До інших одиниць належать нат, що ґрунтується на натуральному логарифмі, та гартлі, що ґрунтується на десятковому логарифмі.

Надалі вираз вигляду $p\log p\,$, коли $p$ є нулем, вважається за згодою рівним нулеві. Це є виправданим, оскільки для будь-якої логарифмічної основи $\lim _{p\rightarrow 0+}p\log p=0$.

Власна інформація

Шеннон вивів міру інформаційного вмісту, названу власною інформацією (англ. self-information) або «несподіваністю» (англ. "surprisal") повідомлення $m$:

$\operatorname {I} (m)=\log \left({\frac {1}{p(m)}}\right)=-\log(p(m))\,$

де $p(m)=\mathrm {Pr} (M=m)$ є ймовірністю обрання повідомлення $m$ з усіх можливих варіантів вибору в просторі повідомлень $M$. Основа логарифму впливає лише на коефіцієнт масштабування, і, відтак, на одиниці, в яких виражається вимірюваний інформаційний вміст. Якщо основою логарифму є 2, то міра інформації виражається в одиницях бітів.

Інформація передається з джерела до отримувача лише якщо отримувач цієї інформації ще не мав її заздалегідь. Повідомлення, які передають інформацію, що відбувається напевно, і вже відома отримувачеві, реальної інформації не містять. Повідомлення, що трапляються нечасто, містять більше інформації, ніж повідомлення, які трапляються частіше. Цей факт віддзеркалено в наведеному вище рівнянні — незмінне повідомлення, тобто, з імовірністю 1, має нульову міру інформації. Крім того, складене повідомлення з двох (або більше) не пов'язаних (або взаємно незалежних) повідомлень матиме міру інформації, яка є сумою мір інформації кожного з повідомлень окремо. Цей факт також віддзеркалено в наведеному вище рівнянні, що підтверджує обґрунтованість його виведення.

Приклад. Повідомлення прогнозу погоди: «Прогноз на ніч: Темно. Тривала темрява, аж до широко розсіяного світла вранці.» Це повідомлення майже не містить інформації. Проте прогноз хуртовини безумовно міститиме інформацію, оскільки таке не трапляється щовечора. Величина інформації буде ще більшою в точному прогнозі снігу для теплого місця, такого як Маямі. Величина інформації в прогнозі снігу для місця, де сніг не йде ніколи (неможлива подія), є найвищою (нескінченність).

Ентропія

Ентропія (англ. entropy) дискретного простору повідомлень $M$ є мірою величини невизначеності (англ. uncertainty), що ми маємо стосовно того, яке повідомлення буде обрано. Її визначено як усереднену власну інформацію повідомлення $m$ з цього простору повідомлень:

$\mathrm {H} (M)=\mathbb {E} \left[\operatorname {I} (M)\right]=\sum _{m\in M}p(m)\operatorname {I} (m)=-\sum _{m\in M}p(m)\log p(m).$

де

$\mathbb {E} [-]$ позначує операцію математичного сподівання (англ. expected value).

Важливою властивістю ентропії є те, що вона є найбільшою, коли всі повідомлення в просторі повідомлень є рівноймовірними (тобто, $p(m)=1/|M|$). В цьому випадку $\mathrm {H} (M)=\log |M|$.

Іноді функцію $\mathrm {H}$ виражають в термінах імовірностей розподілу:

$\mathrm {H} (p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k})=-\sum _{i=1}^{k}p_{i}\log p_{i},$ де кожна $p_{i}\geq 0$ та $\sum _{i=1}^{k}p_{i}=1.$

Важливим особливим випадком цього є функція двійкової ентропії:

$\mathrm {H} _{\mbox{b}}(p)=\mathrm {H} (p,1-p)=-p\log p-(1-p)\log(1-p).\,$

Спільна ентропія

Спільну ентропію (англ. joint entropy) двох дискретних випадкових змінних $X$ та $Y$ визначають як ентропію їхнього спільного розподілу:

$\mathrm {H} (X,Y)=\mathbb {E} _{X,Y}\left[-\log p(x,y)\right]=-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x,y)\,$

Якщо $X$ та $Y$ є незалежними, то ця спільна ентропія є просто сумою їхніх окремих ентропій.

(Зауваження: Спільну ентропію не слід плутати з перехресною ентропією, незважаючи на подібний запис.)

Умовна ентропія (ухильність)

За заданого конкретного значення випадкової змінної $Y$ умовну ентропію $X$ за $Y=y$ визначено як

$\mathrm {H} (X|y)=\mathbb {E} _{\left[X|Y\right]}[-\log p(x|y)]=-\sum _{x\in X}p(x|y)\log p(x|y)$

де $p(x|y)={\frac {p(x,y)}{p(y)}}$ є умовною ймовірністю $x$ за заданого $y$.

Умовну ентропію (англ. conditional entropy) $X$ за заданого $Y$, що також називають ухильністю (англ. equivocation) $X$ від $Y$, задають як

$\mathrm {H} (X|Y)=\mathbb {E} _{Y}\left[\mathrm {H} \left(X|y\right)\right]=-\sum _{y\in Y}p(y)\sum _{x\in X}p(x|y)\log p(x|y)=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(y)}{p(x,y)}}.$

Вона використовує умовне математичне сподівання з теорії імовірності.

Базовою властивістю умовної ентропії є те, що

$\mathrm {H} (X|Y)=\mathrm {H} (X,Y)-\mathrm {H} (Y).\,$

Відстань Кульбака — Лейблера (приріст інформації)

Відстань Кульбака — Лейблера (або розходження інформації, приріст інформації, або відносна ентропія, англ. Kullback–Leibler divergence, information divergence, information gain, relative entropy) є способом порівнювання двох розподілів, «істинного» розподілу ймовірності $p$ та довільного розподілу ймовірності $q$. Якщо ми стискаємо дані таким чином, який передбачає, що $q$ є розподілом, що лежить в основі якихось даних, тоді як насправді правильним розподілом є $p$, то відстань Кульбака — Лейблера є числом усереднених додаткових бітів над рівнем, необхідних для стискання, або, математично,

$D_{\mathrm {KL} }{\bigl (}p(X)\|q(X){\bigr )}=\sum _{x\in X}p(x)\log {\frac {p(x)}{q(x)}}.$

В якомусь сенсі вона дійсно є «відстанню» від $q$ до $p$, хоча вона й не є справжньою метрикою через те, що вона не є симетричною.

Взаємна (передавана) інформація

Виявляється, що однією з найкорисніших та найважливіших мір інформації є взаємна інформація (англ. mutual information), або передавана інформація (англ. transinformation). Вона є мірою того, як багато інформації може бути отримано про одну випадкову змінну шляхом спостерігання іншої. Взаємну інформацію $X$ відносно $Y$ (яка концептуально представляє усереднену величину інформації про $X$, яку можна здобути спостеріганням $Y$) задають як

$\operatorname {I} (X;Y)=\sum _{y\in Y}p(y)\sum _{x\in X}{p(x|y)\log {\frac {p(x|y)}{p(x)}}}=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}.$

Основною властивістю взаємної інформації є те, що

$\operatorname {I} (X;Y)=\mathrm {H} (X)-\mathrm {H} (X|Y).\,$

Тобто, знаючи $Y$, ми можемо заощадити в середньому $\operatorname {I} (X;Y)$ бітів у кодуванні $X$, у порівнянні з незнанням $Y$. Взаємна інформація є симетричною:

$\operatorname {I} (X;Y)=\operatorname {I} (Y;X)=\mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (Y)-\mathrm {H} (X,Y).\,$

Взаємну інформацію можливо виразити як усереднену відстань Кульбака — Лейблера (приріст інформації) апостеріорного розподілу ймовірності $X$ за заданого значення $Y$ відносно апріорного розподілу ймовірності $X$:

$\operatorname {I} (X;Y)=\mathbb {E} _{p(y)}\left[D_{\mathrm {KL} }{\bigl (}p(X|Y=y)\|p(X){\bigr )}\right].$

Іншими словами, вона є мірою того, наскільки в середньому зміниться розподіл ймовірності $X$, якщо ми отримаємо значення $Y$. Обчислюють її часто як розходження між добутком відособлених розподілів та справжнім спільним розподілом:

$\operatorname {I} (X;Y)=D_{\mathrm {KL} }{\bigl (}p(X,Y)\|p(X)p(Y){\bigr )}.$

Взаємна інформація є тісно пов'язаною з перевіркою логарифмічним відношенням правдоподібностей в контексті таблиць спряженості та мультиноміального розподілу, та з критерієм χ² Пірсона: взаємну інформацію можливо розглядати як статистику для оцінювання незалежності в парі змінних, і вона має добре визначений асимптотичний розподіл.

Диференціальна ентропія

Основні міри дискретної ентропії було аналогічно розширено на неперервні простори шляхом заміни сум інтегралами, та функцій маси ймовірності функціями густини ймовірності. І хоча в обох випадках взаємна інформація виражає число бітів інформації, спільне для цих двох джерел, ця аналогія не передбачає однакових властивостей: наприклад, диференціальна ентропія може бути від'ємною.

Диференціальні аналоги ентропії, спільної ентропії, умовної ентропії та взаємної інформації визначено таким чином:

$h(X)=-\int _{X}f(x)\log f(x)\,dx$

$h(X,Y)=-\int _{Y}\int _{X}f(x,y)\log f(x,y)\,dx\,dy$

$h(X|y)=-\int _{X}f(x|y)\log f(x|y)\,dx$

$h(X|Y)=\int _{Y}\int _{X}f(x,y)\log {\frac {f(y)}{f(x,y)}}\,dx\,dy$

$\operatorname {I} (X;Y)=\int _{Y}\int _{X}f(x,y)\log {\frac {f(x,y)}{f(x)f(y)}}\,dx\,dy$

де $f(x,y)$ є функцією густини спільного розподілу, $f(x)$ та $f(y)$ є відособленими розподілами, а $f(x|y)$ є умовним розподілом.

Див. також

• Теорія інформації