Алгебрами Каца — Муді називаються загалом нескінченновимірні алгебри Лі, що є узагальненнями напівпростих скінченновимірних алгебр Лі. Як і напівпрості скінченновимірні алгебри Лі, алгебри Каца — Муді можна задати за допомогою співвідношень Серра, лише замість матриці Картана коефіцієнти у цих співвідношеннях є елементами деякої більш загальної матриці. Напівпрості алгебри Лі є єдиними прикладами скінченновимірних алгебр Каца — Муді.
Тоді називається реалізацією матриці . Найменша можлива розмірність простору є рівною де позначає ранг матриці. До того ж дві такі реалізації і мінімальної розмірності є ізоморфними, тобто існує лінійне відображення що переводить у і спряжене відображення переводить у Тобто існує єдиний клас ізоморфізму мінімальних реалізацій.[1]
Задання алгебр Лі
Нехай — узагальнена матриця Картана розмірності і — її мінімальна реалізація. На основі цієї мінімальної реалізації можна побудувати вільну алгебру Лі породжену множиною
.
На цій алгебрі можна розглянути множину співвідношень
для всіх mit
для всіх
для всіх
для всіх
для всіх
для всіх
Нехай ця множина позначається і — алгебра Лі задана породжуючими елементами із множини і множиною співвідношень
При цьому відображення задає ізоморфізм алгебр Лі.
Означення алгебр Каца — Муді
Для узагальненої матриці Картана із побудованими вище алгебрами і нехай I — єдиний максимальний ідеал для якого Тоді алгебра Лі
називається алгеброю Каца — Муді для матриці .
Клас ізоморфізмів алгебри Лі залежить лише від класу еквівалентності узагальнених матриць Картана. Якщо є звичайною матрицею Картана, то алгебра Каца — Муді матриці є ізоморфною скінченновимірній напівпростій алгебрі Лі.[2]
Узагальнена матриця Картана A називається симетризовною якщо існують такі невироджена діагональна матриця D (яку можна обрати так щоб всі її діагональні елементи були додатними) і симетрична матриця S (яку можна обрати так щоб всі її елементи були раціональними числами) такі, що A = DS.
У випадку алгебр Каца — Муді для симетризовних матриць означення можна дати за допомогою множини породжуючих елементів і співвідношень
для
для і входжень елементів
для і входжень елементів
У випадку симетризовних матриць Картана ці два означення є еквівалентними. Зокрема два останні типи елементів породжуєть максимальний ідеал I. Іноді друге означення також використовується і у загальному випадку.
Три типи алгебр Каца — Муді
Алгебри Каца - Муді поділяються на три типи залежно від властивостей їх узагальнених матриць Картана:
Алгебра називається алгеброю скінченного типу, якщо її матриця Картана є додатноозначеною.
Алгебра називається алгеброю афінного типу, якщо її матриця Картана є напівдодатноозначеною корангу 1, тобто її визначник дорівнює 0 але всі власні головні мінори не є нульовими.
Алгебра називається алгеброю невизначеного типу, якщо її узагальнена матриця Картана не задовольняє вказані властивості.
Можна надати еквівалентні характеристики:
є матрицею алгебри скінченного типу, якщо існує для якого і
є матрицею алгебри афінного типу, якщо існує для якого і
є матрицею алгебри невизначеного типу, якщо існує для якого і
Діаграми Динкіна
Так само, як і в теорії скінченновимірних напівпростих алгебр Лі, для кожної узагальненої -матриці Картана можна побудувати узагальнення діаграми Динкіна, згідно таких правил:
Вершини графу позначаються і відповідають рядкам і стовпцям матриці.
Якщо , то вершини і сполучаються двома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини , якщо і .
Якщо , то вершини і сполучаються трьома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини , якщо і .
Якщо і , то вершини і сполучаються трьома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини , якщо і .
Якщо і , то вершини і сполучаються двома ребрами. На них додаються дві стрілки, > і <, як на малюнку.
Якщо , то вершини і сполучаються ребром із записом чисел і на ньому.
Узагальнену матрицю Картана завжди можна відновити за допомогою діаграми Динкіна. Матриця буде нерозкладною тоді і тільки тоді коли відповідних граф буде зв'язним.
для деякого , то називається кореневим вектором і коренем алгебри . (За означенням нульовий функціонал не вважається коренем.) Множина всіх коренів позначається або . Для даного кореня one denotes by позначає кореневий простір кореня , тобто
.
Із системи співвідношень для випливає, що і . Також якщо і , то .
Для алгебри Каца — Муді існує кореневий розклад у пряму суму і кореневих просторів, тобто:
,
і кожен корінь можна записати як суму де всі є цілими числами із однаковим знаком.
Для фундаментальних коренів розмірності їх кореневих просторів є рівними 1. Це ж справедливо і для коренів одержаних із фундаментальних дією (узагальненої) групи Вейля (для напівпростих алгебр Лі всі корені задовольняють цю властивість). Для цих коренів (вони називаються дійсними) єдиними коренями на прямій є і Натомість для інших коренів (вони називаються уявними) усі є коренями.
Для симетризовних узагальнених матриць Картана існує білінійна форма на що є узагальненням форми Кіллінга і її обмеження на є невиродженою формою. Її стандартно можна перенести також на двоїстий простір. Тоді корінь буде дійсним тоді і тільки тоді коли в іншому випадку він буде уявним.
Для алгебр афінного типу існує для якого і Ці вектори визначені з точністю до множення на додатний скаляр, зокрема існує єдиний такий вектор елементами якого є цілівзаємно прості числа. Якщо позначити то усі уявні корені мають вигляд
Примітки
↑Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 14.1: Realisations of a square matrix
↑Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 14.3: The Kac-Moody algebra L(A)