Характер (або числовой характер, або характер Діріхле) по модулю
(де
— ціле число) — комплекснозначна періодична функція
на множині цілих чисел. Характери Діріхле мають важливі застосування у теорії чисел зокрема при означенні L-функції Діріхле
.
Означення
Аксіоматичне означення
Характером Діріхле по модулю
називається функція
із множини цілих чисел
у множину комплексних чисел
, що задовольняє умови:
.
для будь-яких
і
(мультиплікативність).
- Існує натуральне число, таке що
для будь-якого
(періодичність).
Якщо деяка функція цілочислового аргументу є періодичною із періодом
то вона є також періодичною із періодом
. Відповідно існує найменше додатне число, що є періодом функції. Воно називається основним модулем характеру Діріхле. Всі періоди розклад яких на прості множники містить, ті ж прості числа, що містяться у основному періоді називаються модулями характеру Діріхле (і тоді функція є характером Діріхле по цьому модулю).
За допомогою класів лишків
Нехай
— множина оборотних елементів кільця лишків
за модулем
. Елементами є класи лишків
де числа
є взаємно простими з
.
є комутативною групою порядок якої дорівнює значенню функції Ейлера
.
Характером Діріхле називається гомоморфізм груп:
.
Еквівалентність означень
Для гомоморфізму груп
можна ввести функцію
, як
![{\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\chi ({\hat {n}})&n\in {\hat {n}},\ {\hat {n}}\in (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\\0&(n,k)>1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027f12ee7fb7771f7f302008e28d43dff087eca4)
Тоді
, тобто функція не є рівною нулю для всіх значень. Також функція є періодичною оскільки згідно означення вона приймає однакові значення на всіх елементах будь-якого класу лишків. З властивостей гомоморфізмів груп і класів лишків також випливає мультиплікативність функції. Тобто кожен характер Діріхле у другому означенні породжує характер Діріхле у першому означенні.
Навпаки, якщо
— характер Діріхле згідно першого означення і
— його основний модуль то згідно періодичності він визначає відображення на класах лишків за модулем
. Також якщо
для деякого
то
і тому
. Із мультиплікативності випливає, що індукована функція на класах лишків за модулем
є теж мультиплікативною.
Для того щоб довести, що кожен характер Діріхле у першому означенні породжується характером Діріхле у другому означенні достатньо довести, що
якщо
і
є взаємно простими числами і
якщо
і
не є взаємно простими.
Нехай
. Тоді існують такі два цілих числа
і
, що
. Отже, враховуючи періодичність
і тому
.
Нехай тепер
і
. Оскільки
, то існує таке ціле число
, що
, бо в іншому випадку
було б періодом
. Але
![{\displaystyle \chi (d)(\chi (a+k')-\chi (a))=\chi (ad+k)-\chi (ad)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b057a2c163b0c02779356e7896c3de0ef520c5d3)
Тому
і з мультиплікативності
.
Властивості
- Як було показано при доведенні еквівалентності означень
і
якщо
і
не є взаємно простими, де
— основний модуль. Якщо ж
і
є взаємно простими, то згідно теореми Ейлера
, де
— функція Ейлера і тому також
, тобто ненульові значення характера Діріхле модуля
є коренями з одиниці степеня
.
- Нехай
— характери Діріхле з основними модулями
відповідно. Тоді добуток
є характером Діріхле основний модуль якого є дільником найменшого спільного кратного чисел
.
- Нехай
— характер Діріхле з основним модулем
, де всі числа
— попарно взаємно прості. Тоді існує єдина система характерів
основні модулі яких рівні
і також
.
- Існує
різних характерів по модулю
. Вони утворюють групу порядку
, ізоморфну мультиплікативній підгрупі
оборотних елементів кільця лишків за модулем
.
Приклади
- Функція
є характером, що називається тривіальним характером.
- Характер,
, називається головним характером по модулю
. В групі характерів по модулю
він є одиничним елементом.
- Нехай
— непарне натуральне число. Введемо функцію:
,
- де
— символ Якобі. Ця функція буде характером Діріхле за модулем
.
- Нехай
— непарне просте число,
— натуральне число,
— первісний корінь по модулю
і якщо
то
, тобто найменше натуральне число для якого
. Нарешті, нехай число
— будь-який корінь рівняння
, де
. Визначимо функцію
умовами:
![{\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\rho ^{v}&(n,p)=1,\ \\0&(n,p)>1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42562e2fee50f52599fc56a4e1c0208cb7dd5a0a)
- Ця функція є характером по модулю
, де
.
- Нехай
— натуральне число і
— його розклад на прості множники. Нехай
, якщо
або
і
, якщо
. Нехай також
і
— індекси, як вище (відповідно по модулях
), а
— найменші натуральні числа для яких
. Якщо —
— корені з одиниці степенів
, то функція
![{\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\rho ^{v}\rho _{0}^{v_{0}}\rho _{1}^{v_{1}}\ldots \rho _{m}^{v_{m}}&(n,p)=1,\ \\0&(n,p)>1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df6e4cc7c38009fea9646f2e060961660afcdde8)
- є характером Діріхле за модулем
. Вибираючи різні корені з одиниці одержуються усі
характери Діріхле за модулем
.
Основні співвідношення
;
, де сума є за всіма характерами.
- Відношення ортогональності:
![{\displaystyle {\frac {1}{\varphi (k)}}\sum \limits _{\chi }{\chi (n)}{\chi (l)}=\left\{{\begin{array}{ll}1,&n\equiv l{\pmod {k}};\\0,&n\not \equiv l{\pmod {k}}.\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62597012926f865b73f380656ed07406a3a29e4e)
- Відповідно при інтерпретації характера Діріхле як гомоморфізму груп
, характери Діріхле утворюють ортогональну базу усіх характерів групи
.
Примітивний характер
Нехай
— характер Діріхле за модулем
. Найменший дільник
числа
такий, що для всіх цілих чисел
таких що
,
і
виконується
називається провідним модулем або кондуктором характера.
Якщо кондуктор характера Діріхле за модулем
є рівним
, то характер називається примітивним.
Якщо
— непримітивний характер кондуктора
, то існує примітивний характер
з модулем
, що породжує (індукує) характер
, тобто:
![{\displaystyle \chi (n,k)={\begin{cases}\chi ^{*}(n,d)&(n,k)=1\\0&(n,k)>1\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a3dc0aaa009cc37ca30725071f006aad653f7c)
Характер
є примітивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого числа
, що ділить
і
, існує ціле число
, що задовольняє умови:
.
У термінах гомоморфізмів груп характер
називається примітивним, якщо не існує власного дільника
числа
, характера
і гомоморфізму
для яких
Див. також
Література
- Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — Москва: Изд-во Московского университета, 1984.
- Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — Москва: УРСС, 2004.
- Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — Москва: ОГИЗ, 1947.