Характер представлення групи

В теорії груп характером представлення групи називають функцію від елементів групи, значення якої для кожного елемента групи дорівнює сліду відповідної матриці.

Характер подає важливу інформацію про представлення у досить компактній формі і тому можуть бути використані для вивчення її структури. Теорія характерів є важливим інструментом у класифікації простих скінченних груп.

Визначення

Нехай V — скінченновимірний векторний простір над полем F і нехай ρ: G → GL (V) — представлення групи G на V. Характером представлення ρ називається функція χ _ρ :G →F, визначена так:

$\chi _{\rho }(g)=\mathrm {Tr} (\rho (g))\,$

де $\mathrm {Tr}$ — слід матриці.

Характер χ _ρ називається незвідним, якщо ρ є незвідним представленням. Ядром характера χ _ρ називається множина:

$\ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace$

де χ _ρ (1) — значення χ _ρ на одиничному елементі групи. Якщо ρ є представленням групи G розмірності k і 1 є одиницею групи G, то

$\chi _{\rho }(1)=\operatorname {Tr} (\rho (1))=\operatorname {Tr} {\begin{bmatrix}1&&0\\&\ddots &\\0&&1\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{k}1=k=\dim \rho .$

Властивості

• Значення характеру є незмінними на усіх елементах довільного класу суміжності групи.
• Ізоморфні представлення мають однакові характери. Над полем характеристики 0, уявлень є ізоморфні, якщо і тільки якщо вони мають той же характер.
• Якщо характер скінченної групи G розглядати на деякій підгрупі H, то результат буде характером H.
• Кожне значення характеру $\chi (g)$ є сумою n коренів з одиниці степеня m, де n є розмірністю векторного простору представлення з характером χ і m — порядок елемента g. Зокрема, коли F є полем комплексних чисел, кожне таке значення характеру є алгебраїчним числом.
• Якщо F є полем комплексних чисел, і $\chi$ є незвідним, то $[G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}$ є цілим алгебраїчним числом для кожного x в G.
• Якщо поле F є алгебраїчно замкнутим та Char (F) не ділить | G |, то кількість незвідних характерівGрівна кількості класів суміжності групи G. Крім того, у цьому випадку степені незвідних характерів є дільниками порядку групи G.

Арифметичні властивості

Нехай ρ і σ — представлення групи G. Тоді виконуються такі тотожності:

$\chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }$

$\chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }$

$\chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}$

$\chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\frac {1}{2}}\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]$

$\chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}}}\rho }(g)={\frac {1}{2}}\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]$

де $\rho \oplus \sigma$ є прямою сумою, $\rho \otimes \sigma$ є тензорним добутком, $\rho ^{*}\$ позначає спряжене транспонування від ρ, Alt² (ρ) = $\rho \wedge \rho$ і

$\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho$.

Таблиці характерів

Усі незвідні характери можна подати за допомогою таблиці характерів, що містить багато корисної інформації про групу G в компактній формі. Кожен рядок, помічається деяким незвідним характером і в рядку записуються значення цього характеру для елементів класів суміжності G. Стовпці таблиці помічаються представниками класів суміжності G. Перший рядок зазвичай відповідає тривіальному характеру, а перший стовпець є класом суміжності одиниці. Елементами першого стовпця є значення незвідних характерів на одиниці, тобто розмірності характерів. Характери степеня 1 відомі як лінійні характери.

Нижче подана таблиця характерів циклічної групі з трьома елементами і генеруючим елементом U $C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle$:

	(1)	(u)	(u2)
1	1	1	1
χ1	1	ω	ω2
χ2	1	ω2	ω

де ω є примітивним кубічним коренем з одиниці.

Таблиці характерів завжди є квадратними, тому що число незвідних неізоморфних представлень дорівнює кількості класів суміжності. У першому рядку таблиці характерів стоять одиничні елементи, і він відповідає тривіальному представленню (1-вимірне представлення, що кожному елементу групи ставить у відповідність матрицю 1 × 1, з елементом 1).

Співвідношення ортогональності

На просторі комплекснозначних, незмінних на класах суміжності функцій скінченної групи G можна задати наступний скалярний добуток:

$\left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}$

де ${\overline {\beta (g)}}$ означає комплексно-спряжене значення $\beta$ на G. Відносно цього скалярного добутку, незвідні характери утворюють ортонормований базис в просторі функцій незмінних на класах суміжності, і це дає співвідношення ортогональності для рядків характерів таблицею:

$\left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}$

Для $g,h\in G$ співвідношення ортогональності для стовпців, виглядає таким чином:

$\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate }}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}$

де сума береться по всіх незвідних характерах $\chi _{i}$ із G і символ $\left|C_{G}(g)\right|$ позначає порядок централізаторів $g$.

Властивості таблиць характерів

Деякі властивості групи G можуть бути виведені з її таблиці характерів:

• Порядок G рівний сумі квадратів елементів першого стовпця (степенів незвідних характерів). Більш загально сума квадратів абсолютних значень елементів в будь-якому стовпці рівна порядку централізатора елементів відповідного класу сумужності.
• Всі нормальні підгрупи G можуть бути визначені за допомогою таблиць характерів. Ядро харкактеру χ це множина елементів G, для яких χ (G) = χ (1); Ядро є нормальною підгрупою групи G. Кожна нормальна підгрупа G є перетином ядер деяких незвідних характерів G.
• Комутант групи G є перетином ядер лінійних характерів G. Зокрема, група G є абелевою , якщо і тільки якщо всі її незвідні характери є лінійними.

Таблиці характерів в загальному не визначають групу з точністю до ізоморфізму: наприклад, група кватерніонів Q і діедральна група з 8 елементів (D ₄ ) мають однакові таблиці характерів.

Література

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Пилипів В.М. Теорія представлень груп та її застосування(навчальний посібник). -Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008.-156с.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8
• Isaacs, I.M. (1994). Character Theory of Finite Groups (Corrected reprint of the 1976 original, published by Academic Press. ed.). Dover. ISBN 0-486-68014-2.
• Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, ISBN 0-521-83531-3
• James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.
• Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6.