P-група

У математиці p-групою, де p  — просте число, називається група в якій порядок кожного елемента є степенем числа p, тобто для кожного елемента g існує натуральне число n, що g^pn=1 і для всіх додатних m < pⁿ елемент g^m не дорівнює нейтральному. Якщо група скінченна, то її порядок тоді теж рівний деякому степеню числа p (оскільки згідно теорем Силова кожна p-підгрупа, зокрема і сама група має міститися в деякій підгрупі Силова і тому група сама є своєю підгрупою Силова, тобто її порядок є степенем числа p). В основному інтерес становлять саме скінченні p-групи.

Центр p-групи

Однією з найважливіших властивостей скінченних p-груп є така теорема:

• Центр нетривіальної скінченної p-групи є нетривіальною групою.

Доведення

Візьмемо деяку p-групу G ($|G|=p^{k}$) і задамо дію групи G на множині G:

$~\phi \colon G\times G\to G;\phi (g,x)=gxg^{-1}$

Спершу доведемо, що орбіта довільного елемента складається лише з того елемента тоді і лише тоді коли цей елемент належить до центру групи:

$\forall _{x\in G}|G(x)|=1\iff x\in Z(G)$

Візьмемо довільний $g\in G$. Тоді:

$gxg^{-1}=x=gg^{-1}x\iff gxg^{-1}=gg^{-1}x\iff x\in Z(G)$

Далі доведемо, що, якщо деяка орбіта має більш ніж один елемент, то її порядок ділиться на p:

$\forall _{x\in G}|G(x)|>1\Rightarrow p||G(x)|$

Припустимо, що для $x\in G$ маємо $|G(x)|>1$. Оскільки стабілізатор $G_{x}$ є підгрупою G, то, згідно з теоремою Лагранжа, кількість його елементів ділить кількість елементів G, отже $|G_{x}|=p^{l},l>0$. Далі:

$|G(x)|=|G:G_{x}|={\frac {|G|}{|G_{x}|}}={\frac {p^{k}}{p^{l}}}=p^{k-l}$

G є об'єднанням орбіт:

$G=\bigcup G(x)=\bigcup _{|G(x)|=1}G(x)\cup \bigcup _{|G(x)|>1}G(x)$

Звідси отримуємо:

$p^{k}=|G|=\sum \limits _{|G(x)|=1}|G(x)|+\sum \limits _{|G(x)|>1}G(x)=|Z(G)|+\sum _{i=1}{s}p^{a_{i}}$

де s  — кількість орбіт, що містять більше одного елемента, а всі a_i більші від нуля. З останньої формули одержуємо, що |Z(G)| ділиться на p.

Властивості

• Якщо $H$ нормальна в $P$, то $|H\cap Z(P)|>1$.

Ця властивість одержується з теореми про центр, якщо врахувати, що будь-яка підгрупа p-групи сама є p-групою і що нормальна підгрупа інваріантна до спряжень. Тому в попередньому доведенні можна взяти H замість P і $H\cap Z(P)$ замість Z(P).

• Усі p-групи є нільпотентними.

Скінченні p-групи невеликих порядків

Число різних $p$-групп порядку $p^{n}$

• Число неізоморфних груп порядку $p$ рівне 1: група $C_{p}$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^{2}$ рівне 2: групи $C_{p^{2}}$ і $C_{p}\times C_{p}$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^{3}$ рівне 5, з них три абелеві: $C_{p^{3}}$, $C_{p^{2}}\times C_{p}$, $C_{p}\times C_{p}\times C_{p}$ і дві неабелеві: при $p>2$ — $E_{p^{3}}^{+}$ і $E_{p^{3}}^{-}$; при p = 2 — $D_{8}$, $Q_{8}$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^{4}$ рівне 15 при $p>2$, число груп порядку $2^{4}$ рівне 14.
• Число неізоморфних груп порядку $p^{5}$ рівне $2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)$ при $p\geq 5$. Число груп порядку $2^{5}$ рівне 51, число груп порядку $3^{5}$ рівне 67.
• Число неізоморфних груп порядку $p^{6}$ рівне $3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1,3)+11GCD(p-1,4)+2GCD(p-1,5)$ при $p\geq 5$. Число груп порядку $2^{6}$ рівне 267, число груп порядку $3^{6}$ рівне 504.
• Число неізоморфних груп порядку $p^{7}$ рівне $3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)$ при $p>5$. Число груп порядку $2^{7}$ рівне 2328, число груп порядк $3^{7}$ рівне 9310, число груп порядку $5^{7}$ рівне 34297.

p-групи порядку pⁿ, асимптотика

При $n\rightarrow \infty$ число неізоморфних груп порядку $p^{n}$ асимптотично рівне $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3}}$.

Див. також

• Теореми Силова

Джерела

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
• Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)