Група Кліфорда

У математиці групою Кліфорда або групою Ліпшиця для невиродженої квадратичної форми на векторному просторі над деяким полем називається деяка підгрупа групи оборотних елементів алгебри Кліфорда для цих простору і квадратичної форми.

Означення

Нехай K є деяким полем, V — скінченновимірний векторний простір над K,Q — невироджена квадратична форма над V і φ — симетрична білінійна форма асоційована з Q. Нехай також $\operatorname {Cl} (V,Q)$ позначає алгебру Кліфорда для відповідного квадратичного простору і $\operatorname {Cl} ^{*}(V,Q)$ — групу оборотних елементів цієї алгебри.

Лінійне перетворення простору V, що переводить вектор v у -v продовжується до перетворення $\alpha$ на алгебрі Кліффорда, що називається також головною інволюцією алгебри.

Для $x\in \operatorname {Cl} ^{*}(V,Q)$ можна ввести лінійне відображення $\operatorname {Ad} '_{x}$ задане як $\operatorname {Ad} '_{x}(v)=xv\alpha (x)^{-1}.$

Якщо $x\in V$ є анізотропним елементом (тобто $Q(x)\neq 0$), то він є оборотним елементом алгебри Кліффорда, $\alpha (x)=-x$ і $\alpha (x)^{-1}=-{x \over Q(x)}$. Тоді $\operatorname {Ad} '_{x}(x)=-x.$ Якщо ж вектор $v\in V$ є ортогональним до $x$, то для добутку Кліффорда $xv=-vx$ і $\operatorname {Ad} '_{x}(v)={xxv \over Q(x)}=v.$ Тобто у цьому випадку звуження $\operatorname {Ad} '_{x}$ на V є відбиттям щодо гіперплощини перпендикулярної до $x$. Зокрема підпростір V алгебри Кліфорда є інваріантним щодо $\operatorname {Ad} '_{x}$. Елементи групи Кліфорда узагальнюють цю властивість.

Група Кліфорда $\Gamma \,$ є за означенням множиною оборотних елементів $x\in \operatorname {Cl} ^{*}(V,Q)$ алгебри Кліфорда для яких

$\operatorname {Ad} '_{x}(v)=xv\alpha (x)^{-1}\in V\,$, для всіх $v\in V.$

Спеціальна група Кліфорда (позначається $S\Gamma \,$ або $\Gamma ^{0}$) є підгрупою групи Кліфорда,елементи якої належать парній частині градації алгебри Кліфорда.

Ця формула також задає дію групи Кліфорда на векторному просторі V, яка є лінійною і зберігає норму Q і таким чином задається гомоморфізм $\operatorname {Ad} '(x)$ групи Кліфорда у ортогональну групу для відповідної квадратичної форми.

Властивості

Нехай V є скінченновимірним векторним простором із невиродженою білінійною формою, відповідною алгеброю Кліфорда і групою та спеціальною групою Кліфорда.

• Якщо елемент $x\in \Gamma$ то і $x^{t}\in \Gamma$
• Якщо розглядати спінорну норму на групі Кліфорда задану як $N(x)=x^{t}x\,$ то $N(x)\in \operatorname {Ker} (\operatorname {Ad} ')$ для $x\in \Gamma .$
• $\operatorname {Ker} (\operatorname {Ad} ')=K^{*}$ тобто множині ненульових елементів поля K. Також ця множина буде ядром гомоморфізму, якщо його розглядати тільки на спеціальній алгебрі Кліффорда. Зокрема спінорна норма є гомоморфізмом групи Кліфорда у групу K^*.
• Образом групи Кліфорда при відображенні $\operatorname {Ad} '$ є ортогональна група, образом спеціальної групи Кліфорда при відображенні $\operatorname {Ad} '$ є спеціальна ортогональна група.

Для групи Кліфорда це випливає із мультиплікативності спінорної норми і тих фактів, що для $v\in V$ спінорна норма $N(v)$ є рівною $Q(v)$ і для всіх $x\in \Gamma$ також $N(x)\in K^{*}.$ Тоді, якщо $w=\operatorname {Ad} '(x)v$ то $Q(w)=N(w)=N(xv\alpha (x)^{-1})=N(x)N(v)N(\alpha (x)^{-1})=N(v)=Q(v).$ Тобто $\operatorname {Ad} '(x)$ є ортогональним відображенням. Оскільки всі відбиття для анізотропних векторів належать $\operatorname {Ad} '(\Gamma )$ і згідно теореми Картана — Д'єдонне такі відображення породжують ортогональну групу, то $\operatorname {Ad} '$ є сюр'єктивним.

• На основі попередніх властивостей одержуються точні послідовності:

$1\rightarrow K^{*}\rightarrow \Gamma \rightarrow O_{V}(K)\rightarrow 1,\,$

$1\rightarrow K^{*}\rightarrow \Gamma ^{0}\rightarrow SO_{V}(K)\rightarrow 1.\,$

• Група Кліфорда породжується множиною анізотропних елементів простору V. Спеціальна група Кліфорда є підгрупою добутків парної кількості анізотропних елементів простору V.

Див. також

• Алгебра Кліфорда
• Ортогональна група
• Спеціальна ортогональна група
• Спінорна група

Література

• Garling, D. J. H. (2011), Clifford algebras. An introduction, London Mathematical Society Student Texts, т. 78, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-09638-7, Zbl 1235.15025