Теорія Редже: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Рядок 52: | Рядок 52: | ||
<math display="block">f(k,\theta){\sim}_{|\cos\theta|\rightarrow\infty}-\beta(k)\frac{(-\cos\theta)^{\alpha(k)}}{\sin\pi\alpha(k)}, |
<math display="block">f(k,\theta){\sim}_{|\cos\theta|\rightarrow\infty}-\beta(k)\frac{(-\cos\theta)^{\alpha(k)}}{\sin\pi\alpha(k)}, |
||
</math>де <math>\alpha(k)</math> - це |
</math>де <math>\alpha(k)</math> - це домінантна траєкторія Редже, <math>\beta(k) |
||
</math> - [[лишок]] полюсу Редже, <math>\cos\theta=1+\frac{2t}{s-4m^2}. |
</math> - [[лишок]] полюсу Редже, <math>\cos\theta=1+\frac{2t}{s-4m^2}. |
||
</math> Зрозуміло, що вираз <math>|\cos\theta|\rightarrow\infty</math> не має сенсу, а вивід має тільки демонстративне значення, але в релятивістській теорії ця умова може бути записана як <math>|t|\rightarrow\infty</math>, а вона вже має фізичний |
</math> Зрозуміло, що вираз <math>|\cos\theta|\rightarrow\infty</math> не має сенсу, а вивід має тільки демонстративне значення, але в релятивістській теорії ця умова може бути записана як <math>|t|\rightarrow\infty</math>, а вона вже має фізичний |
||
зміст. |
зміст. |
||
За наявності [[Обмінна взаємодія|обмінної взаємодії]] у виразі для амплітуди з'являється множник <math>(-1)^{\ell} |
|||
</math> |
</math>. У цьому випадку умова можливості аналітичного продовження не задовольняється, оскільки при <math>|\ell|\rightarrow\infty |
||
</math> цей множник вносить [[Збіжність|розбіжність]] в амплітуду. В результаті теорема Карлсона не справджується, цю проблему можна |
</math> цей множник вносить [[Збіжність|розбіжність]] в амплітуду. В результаті теорема Карлсона не справджується, цю проблему можна зняти, якщо ввести ще одне додаткове [[квантове число]] - сигнатуру. |
||
У квантовій механіці множник <math>(-1)^{\ell} |
|||
</math> з'являється тільки в окремих випадках (наявності обмінних взаємодій), в той час як в релятивістській теорії він є наслідком кросингу і не може бути виключеним, тому врахування сигнатури в ній необхідне всюди. |
</math> з'являється тільки в окремих випадках (наявності обмінних взаємодій), в той час як в релятивістській теорії він є наслідком кросингу і не може бути виключеним, тому врахування сигнатури в ній необхідне всюди. |
||
Версія за 11:04, 27 травня 2016
Теорія Редже (метод полюсів Редже, метод комплексних кутових моментів) - в квантовій механіці та квантовій теорії поля метод описання та дослідження розсіяння елементарних частинок, що ґрунтується на формальному аналітичному продовженні парціальних амплітуд з області фізичних значень моменту імпульсу в область комплексних значень . Метод запровадив італійський фізик Туліо Редже при вивченні аналітичних властивостей квантовомеханічної амплітуди розсіяння.
Суть теорії Редже
Теорія Редже виникла при дослідженні потенціального розсіювання в квантовій механіці. Основна ідея полягала в тому, що квантові числа кутового моменту в загальному випадку можуть набувати комплексних значень, тоді парціальну амплітуду інтерполюють до функції , яка для цілих значень збігається з . Для певного типу потенціалів (наприклад, юкавського потенціалу) сингулярності виявляються[1] простими полюсами (полюси Редже), що змінюють місце знаходження в комплексній площині кутового моменту зі зміною енергії. Їхнє розташування визначається зі співвідношення де - функція енергії, що називається траєкторією Редже (може бути представлена як функція кінематичних змінних Мандельштама, ). Кожній сім'ї резонансів, а також набору зв'язаних станів відповідає одна траєкторія Редже. Ідея Редже була успішно розвинута в рамках фізики високих енергій[2].
Зокрема, при певних не дуже великих , де дійсна, цілочисельні значення відповідають стабільним зв'язаним станам. При великих , що перевищують границю суцільного спектру (кінетична енергія частинки додатня), функція стає комплексною: . Тоді дійсна частина продовжує визначати положення тепер вже резонансного рівня, а уявна частина пропорційна повній ширині рівня, тобто визначає час життя резонансу.
У теорії -матриці немає рівняння Шредінгера, тож не можна отримати амплітуду розсіяння таким шляхом, як у квантовій механіці, звідки безпосередньо можна було б вивчати її аналітичні властивості. Отже, існування полюсів Редже насправді є припущенням, але це припущення дозволяє розв'язувати деякі проблеми теорії і, що найголовніше, підтверджується великою кількістю феноменологічних спостережень[3].
Якщо застосовувати ідею Редже до теорії релятивістської -матриці, можна показати, зробивши ряд припущень, що релятивістську парціальну амплітуду можна аналітично продовжити до комплексних значень і при тому єдиним способом. Отримана фунцкія має прості полюси (першопочаткове припущення) при Кожен полюс дає внесок в амплітуду розсіяння, який асимптотично ( при фіксованому ) поводиться як
Тобто сингулярність, що має найбільшу дійсну частину (основна сингулярність) в -каналі визначає асимптотичне поводження амплітуди розсіяння в -каналі. Насправді, в теорії Редже, що застосовується в теорії -матриці, вигляд сингулярностей складніший, аніж прості полюси (наприклад, наявність таких сингулярностей, як розрізи, які значно ускладнюють теорію Редже).
Кросинг
Основним принципом кросингу є те, що з однієї і тієї ж функції аналітично продовженої в три фізичні області значень кінематичних змінних отримується амплітуда розсіяння для відповідної області, де пов'язані як
Полюси Редже в квантовій механіці
У квантовій механіці теорія Редже застосовна тільки до певного класу потенціалів, до них є дві умови:
де так звана функція Йоста[1]. Важливий клас потенціалів, що мають вищезазначені властивості записується у вигляді узагальненого потенціалу Юкави
Функції Йоста мають такі аналітичні властивості[4] : перше - для сингулярностями як функції є скінченна кількість простих полюсів, друге - амплітуда прямує експотенціально до нуля при , коли .
Таким чином, задовольняються всі умови щодо аналітичного продовження функції , яку до того ж може бути продовжено єдиним способом. Далі можна отримати представлення Ватсона-Зомерфельда для і фіксованої енергії , амплітуда розсіяння поводиться як
За наявності обмінної взаємодії у виразі для амплітуди з'являється множник . У цьому випадку умова можливості аналітичного продовження не задовольняється, оскільки при цей множник вносить розбіжність в амплітуду. В результаті теорема Карлсона не справджується, цю проблему можна зняти, якщо ввести ще одне додаткове квантове число - сигнатуру.
У квантовій механіці множник з'являється тільки в окремих випадках (наявності обмінних взаємодій), в той час як в релятивістській теорії він є наслідком кросингу і не може бути виключеним, тому врахування сигнатури в ній необхідне всюди.
Полюси Редже в релятивістській квантовій теорії
Можна показати, що для парціальної амплітуди для випадку релятивистської квантової теорії можливе представлення Фруассара-Грибова, вводячи нове квантове число - сигнатуру, яка приймає два значення , можна переписати амплітуду із визначеною сигнатурою, що має "гарне" поводження при :
де сумування по полюсах із визначеною сигнатурою і Повна амплітуда тоді
при великих значеннях , враховуючи тільки крайній правий полюс, отримаємо що співпадає із основним виразом для полюсу домінантного вкладу в амплітуди розсіяння траєкторії Редже , тільки додаково із сигнатурним множником.
Див. також
Література
- Ширков Д. В., Свойства траекторий полюсов Редже, «УФН», 1970, т. 102, в. 1
- Коллинз П. Д. Б., Сквайр Э. Дж., Полюса Редже в физике частиц, пер. с англ., М., 1971
- Regge Т., Introduction to complex· orbital momenta, "Nuovo Cim.", 1959, v. 14, p. 951
- R.J. Eden, Regge poles and elementary particles, Rep. Prog. Phys. 34 995—1053 (1971)
- A.C. Irving, R.P. Worden, Regge phenomenology, Phys.Rept. 34, 117—231 (1977)
Зовнішні посилання
- ↑ а б В. де Альфаро, Т.Редже (1966). Потенциальное рассеяние. Москва: Изд. "Мир". с. 275.
- ↑ Chew, Geoffrey F.; Frautschi, S. C. (15 листопада 1961). Principle of Equivalence for all Strongly Interacting Particles within the $S$-Matrix Framework. Physical Review Letters. Т. 7, № 10. с. 394—397. doi:10.1103/PhysRevLett.7.394. Процитовано 19 квітня 2016.
- ↑ V.Barone, E.Predazzi (2002). High-energy particle diffraction. Berlin: Springer. с. 410.
- ↑ Bottino, A.; Longoni, A. M.; Regge, T. (25 жовтня 2007). Potential scattering for complex energy and angular momentum. Il Nuovo Cimento (1955-1965) (англ.). Т. 23, № 6. с. 954—1004. doi:10.1007/BF02731254. ISSN 1827-6121. Процитовано 19 квітня 2016.