Трикутна хвиля

Обмежена трикутна хвиля: залежність від часу (вгорі) та частоти (внизу). Основна частота дорівнює 220 Гц (A3)

Трикутна хвиля — це несинусоїдальна форма хвилі, названа на честь своєї трикутної форми. Це періодична, кусково-лінійна, неперервна, дійснозначна функція.

Як і прямокутна хвиля, трикутна хвиля містить тільки непарні гармоніки. Однак вищі гармоніки скочуються набагато швидше ніж в прямокутної хвилі (пропорційно оберненому квадрату номера гармоніки, а не оберненому значенню).

Гармоніки

Анімація адитивним синтезом трикутної хвилі зі збільшенням кількості гармонік. Див. Фур'є-аналіз для математичного опису.

Можна апроксимувати трикутну хвилю адитивним синтезом, підсумовуючи непарні гармоніки основної частоти, домножуючи кожну іншу непарну гармоніку на $-1$ (або, еквівалентно, змінюючи її фазу на π) і домножуючи амплітуду гармонік на обернений квадрат їх номера моди $n$ (або на обернений квадрат їх відносної частоти до фундаментальної).

Вищесказане можна математично узагальнити наступним чином:

${\begin{aligned}x_{\mathrm {triangle} }(t)&{}={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{i=0}^{N-1}(-1)^{i}n^{-2}\sin \left(2\pi f_{0}nt\right)\end{aligned}}$,

де $N$ — кількість гармонік, що включаються в наближення, $t$ — незалежна змінна (наприклад, час для звукових хвиль), $f_{0}$ — основна частота, а $i$ — індекс гармоніки, яка пов'язана з номером її моди, $n=2i+1$.

Цей нескінченний ряд Фур'є сходиться до трикутної хвилі, коли $N$ прямує до нескінченності як показано на анімації.

Означення

Синусоїдальні, прямокутні, трикутні, та пилкоподібні хвилі

Ще одне означення трикутної хвилі на інтервалі від $-1$ до $1$ та з періодом $p$:

$x(t)={\frac {4}{p}}\left(t-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$,

де символ $\lfloor n\rfloor$ — функція підлоги від $n$.

Також трикутна хвиля може бути абсолютним значенням пилкоподібної хвилі :

$x(t)=2\left|{t \over p}-\left\lfloor {t \over p}+{1 \over 2}\right\rfloor \right|$

або для інтервалу від $-1$ до $1$:

$x(t)=2\left|2\left({t \over p}-\left\lfloor {t \over p}+{1 \over 2}\right\rfloor \right)\right|-1.$

Трикутна хвиля також може бути виражена як інтеграл

$x(t)=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} (\sin(u))\,{\rm {d}}u$.

Це просте рівняння з періодом $4$ та початковим значенням $y(0)=1$:

$y(x)=|x\,{\bmod {\,}}4-2|-1$.

Оскільки у цьому представлені використовується лише функція модулята абсолютне значення, то це можна використовувати для простої реалізації трикутної хвилі на апаратній електроніці з малою потужністю процесора. Попереднє рівняння можна узагальнити на випадок періоду $p$, амплітуди $a$ і початкового значення $y(0)=a/2$:

$y(x)={\frac {2a}{p}}{\biggl |}\left(x{\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}{\biggr |}-{\frac {2a}{4}}.$

Попередня функція — це частковий випадок останньої при $a=2$ і $p=4$:

$y(x)={\frac {2\cdot 2}{4}}{\biggl |}\left(x{\bmod {4}}\right)-{\frac {4}{2}}{\biggr |}-{\frac {2\cdot 2}{4}}\Leftrightarrow$

$y(x)=|\left(x{\bmod {4}}\right)-2|-1.$

Непарну версію першої функції можна отримати, просто змістити на одиницю початкове значення, що змінить фазу вихідної функції:

$y(x)=|(x-1)\,{\bmod {\,}}4-2|-1.$

Узагальнюючи це, одержуємо непарну функцію для будь-якого періоду і амплітуди:

$y(x)={\frac {4a}{p}}{\biggl |}\left(\left(x-{\frac {p}{4}}\right){\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}{\biggr |}-a.$

За допомогою функцій sine та arcsine з періодом $p$ та амплітудою $a$ трикутну хвилю можна записати у вигляді:

$y(x)={\frac {2a}{\pi }}\arcsin \left(\sin \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).$

Довжина дуги

Довжина дуги за період $s$ для трикутної хвилі заданої амплітуди $a$ та періодом $p$ :

$s={\sqrt {(4a)^{2}+p^{2}}}.$

Див. також

• Список періодичних функцій
• Кусково-лінійна функція
• Основна частота
• Зигзаг
• Синусоїда
• Прямокутна хвиля
• Функція підлоги та стелі
• Абсолютне значення
• Функція модуля
• Адитивний синтез
• Пилкоподібна хвиля

Посилання

• Weisstein, Eric W. Fourier Series - Triangle Wave(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.