Фактор-модуль

У абстрактній алгебрі фактор-модулем називається новий модуль, який можна визначити для довільного модуля над кільцем i його підмодуля. Побудова фактор-модуля є аналогом побудови факторм-ножини, фактор-групи, фактор-кільця і фактор-простору.

Означення

Нехай дано (лівий) модуль $M$ над кільцем $R$ і його підмодуль $N$. На $M$ можна ввести відношення еквівалентності:

$m\sim n\;$ якщо і тільки якщо $m-n\in N$

для будь-яких $m,n\in M$. Елементами множини $M/N$ є класи еквівалентності

$[m]=\{m+n\colon n\in N\}$.

Сума двох класів еквівалентності у $M/N$ є класом еквівалентності еквівалентності суми представників двох класів; в схожий спосіб можна ввести множення на елементи $R$. Конкретно:

$[m]+[n]=[m+n]$ i

$r[m]=[rm]$

для будь-яких $m,n\in M$ і $r\in R$.

Таким чином $M/N$ отримує структуру модуля над $R.$ Цей модуль називається фактор-модулем модуля $M$ по підмодулю $N$.

Приклади

• M/M є тривіальним модулем {0}.
• M/{0} є ізоморфним M.
• Нехай $\mathbb {R}$— кільце дійсних чисел i $A=\mathbb {R} [X]$— кільце многочленів з дійсними коефіцієнтами, що, очевидно, є $\mathbb {R}$-модулем. Розглянемо підмодуль

$B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]$

модуля $A,$ тобто підмодуль всіх многочленів, що діляться на $X^{2}+1$. Відношення еквівалентності для цих модулів задається як:

$P(X)\sim Q(X)$ якщо і тільки якщо залишки від ділення $P(X)$ і $Q(X)$ на $X^{2}+1$ є однаковими.

Зокрема у фактор-модулі $A/B$ многочлен $X^{2}+1$ переходить у той же клас, що і $0$ i фактор-модуль можна розглядати як похідний від $\mathbb {R} [X]$ при ототожненні $X^{2}+1=0$. Фактор-модуль $A/B$ є ізоморфним із дійсним векторним простором комплексних чисел.

Властивості

• Фактор-модуль $M/N$ є гомоморфним образом модуля $M$ для гомоморфізма ядро якого є рівним $N$ і яке можна записати як

$\pi :M\longrightarrow M/N:m\mapsto m+N$.

Відображення $\pi$ називається проєкцією модуля $M$ на фактор-модуль $M/N$.

• Теореми про ізоморфізми: для двох підмодулів $M,N$ модуля $Q$:

  $M/(M\cap N)\simeq (M+N)/N$.

для підмодуля $N\subseteq Q\subseteq P$ виконується

$(P/N)/(Q/N)\simeq P/Q$.

• Кожен гомоморфізм R-модулів $f:M\rightarrow L$ ядро якого містить N у єдиний спосіб розкладається через M/N, тобто існує єдиний гомоморфізм R-модулів ${\tilde {f}}:M/N\to L$ для якого ${\tilde {f}}\circ \pi =f$.

Навпаки, нехай існує R-модуль P і сюр'єктивний гомоморфізм $p:M\longrightarrow P.$ Якщо для кожного гомоморфізма R-модулів $f:M\rightarrow L$ ядро якого містить N існує єдиний гомоморфізм ${\tilde {f}}:P\to L$ для якого ${\tilde {f}}\circ p=f,$ то $M/N\simeq P$. Таким чином дана властивість повністю характеризує фактор-модуль. Вона називається універсальною характеристикою модуля.

• Фактор-модулями скінченнопороджених модулів і модулів скінченної довжини є скінченнопороджені модулі і модулі скінченної довжини.
• Нехай $M,P$ — два модулі над комутативним кільцем $R$ і $N\subset M,\;T\subset P$ — їх підмодулі. Тоді для тензорного добутку виконується властивість $M/N\otimes _{R}P/T\simeq (M\otimes _{R}P)/Q,$ де $Q$ — підмодуль у $M\otimes _{R}P$ породжений елементами виду $m\otimes t$ і $n\otimes p$ для довільних $m\in M,\,t\in T,\,n\in N,\,p\in P.$
• Якщо $S$ — мультиплікативна множина у комутативному кільці $R$ то для локалізації $S^{-1}(M/N)\simeq (S^{-1}M)/(S^{-1}N).$
• Якщо $B$ є $A$-алгеброю (асоціативною з одиницею), то

  $B\otimes _{A}(M/N)\simeq (B\otimes _{A}M)/U$,

де $U$ є образом $B\otimes _{A}N$ у $B\otimes _{A}M$.

• Якщо $I$ є (двостороннім) ідеалом у $A$, то фактор-модуль $A/I$ є фактор-кільцем $A/I$.

Література

• Dauns, John (1994). Modules and rings. Cambridge University Press. ISBN 9780521462587.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (вид. 3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.