Теореми про ізоморфізми

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теореми про ізоморфізми — це три теореми в абстрактній алгебрі, що описують зв'язок між гомоморфізмами, фактор-множинами і під-об'єктами.

Існують версії цих теорем для груп, кілець, модулів, векторних просторів, алгебр Лі та інших алгебраїчних структур. В універсальній алгебрі ці теореми узагальнюються через алгебри довільної сигнатури і конгруенції.

Групи[ред. | ред. код]

Перша теорема[ред. | ред. код]

Якщо гомоморфізм груп, тоді:

  1. Ядро є нормальною підгрупою в ;
  2. Образ є підгрупою в ;
  3. Образ є ізоморфним до фактор-групи .

Друга теорема[ред. | ред. код]

Якщо  — група,  — підгрупа в ,  — нормальна підгрупа в , тоді:

  1. Добуток є підгрупою в ;
  2. Перетин є нормальною підгрупою в ;
  3. Фактор-групи та є ізоморфними.

Третя теорема[ред. | ред. код]

Якщо  — група, ,  — нормальні підгрупи в , такі що , тоді:

  1. є нормальною підгрупою в ;
  2. Фактор-група ізоморфна до .

Кільця[ред. | ред. код]

Зміст теорем для кілець є подібним, але поняття нормальної підгрупи замінюється на ідеалом кільця.

Перша теорема[ред. | ред. код]

Якщо гомоморфізм кілець, тоді:

  1. Ядро є ідеалом в ;
  2. Образ є підкільцем в ;
  3. Образ є ізоморфним до фактор-кільця .

Друга теорема[ред. | ред. код]

Якщо  — кільце,  — підкільце в ,  — ідеал в , тоді:

  1. Сума є підкільцем в ;
  2. Перетин є ідеалом в ;
  3. Фактор-кільця та є ізоморфними.

Третя теорема[ред. | ред. код]

Якщо  — кільце, ,  — ідеали , такі що , тоді:

  1. є ідеалом в ;
  2. Фактор-кільце ізоморфно до .

Модулі[ред. | ред. код]

Теореми про ізоморфізм для векторних просторів та абелевих груп є частковим випадком теорем для модулів. Для векторних просторів детальніше див. Ядро та образ лінійного оператора.

Перша теорема[ред. | ред. код]

Якщо гомоморфізм модулів, тоді:

  1. Ядро є підмодулем в ;
  2. Образ є підмодулем в ;
  3. Образ є ізоморфним до фактор-модуля .

Друга теорема[ред. | ред. код]

Якщо  — модуль, ,  — підмодулі в , тоді:

  1. Сума є підмодулем в ;
  2. Перетин є підмодулем в ;
  3. Фактор-модулі та є ізоморфними.

Третя теорема[ред. | ред. код]

Якщо  — модуль, ,  — підмодулі в , такі що , тоді:

  1. є підмодулем в ;
  2. Фактор-множина ізоморфна до .

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]