Перетворення Радона

Перетворення Радона. Карти f на ( x,   y ) -область Rf на ( α,   з ) -область.

Перетворення Радона для характеристичної функції двох квадратів, зображених на малюнку нижче. Більш світлі регіони вказують на більші значення функцій. Чорний колір позначає нуль.

Початкова функція дорівнює одиниці на білій області і нулю в темній області.

В математиці перетворення Радона - це інтегральне перетворення, яке приймає функцію f, визначену на площині, до функції Rf, визначеної на (двовимірному) просторі ліній у площині, значення яких у певній прямій дорівнює криволінійий інтеграл функції над цим рядком. Трансформація була введена в 1917 році Йоганом Радоном який також надав формулу зворотного перетворення. Крім того, Радон включив формули для перетворення в трьох вимірах, в яких інтеграл перейнятий площинами (інтегрування по лініях відоме як рентгенівське перетворення ). Пізніше це було узагальнено до евклідових просторів більш високого розміру, а ширше - в контексті інтегральної геометрії. Комплексний аналог перетворення Радона відомий як перетворення Пенроуза. Трансформація Радона широко застосовна для томографії, створення зображення з проекційних даних, пов'язаних із скануванням поперечного перерізу об'єкта.

Пояснення

Якщо функція $f$ представляє невизначену щільність, тоді перетворення Радона представляє дані проекції, отримані як вихід томографічного сканування. Отже, зворотне перетворення Радона може бути використане для реконструкції початкової щільності з даних проекції, і таким чином воно формує математичну основу томографічної реконструкції, також відому як ітеративна реконструкція.

Дані про перетворення Радону часто називають синограмою, оскільки перетворення Радона в центрі точкового джерела є синусоїдою. Отже, перетворення Радону ряду дрібних предметів графічно постає як кількість розмитих синусоїд з різними амплітудами та фазами.

Трансформація Радона корисна при комп'ютерній томографії (КВТ-сканування), сканерах штрих-кодів, електронній мікроскопії макромолекулярних зборів, таких як віруси та білкові комплекси, рефлекторній сейсмології та при вирішенні гіперболічних часткових диференціальних рівнянь.

Визначення

Нехай ƒ ( x )   =   ƒ ( x, y ) - функція, яка задовольняє трьом умовам регулярності:

1. ƒ ( x, y ) неперервна
2. подвійний інтеграл $\int \int {\frac {|f(x,y)|}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}dxdy$, що простягається на всю площину, збігається
3. для будь-якої довільної точки $(x,y)$ на площині вірно, що $\lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \phi ,y+r\sin \phi )d\phi =0$

Перетворення Радона, R ƒ, є функцією, визначеною на просторі прямих L в R ² криволінійно інтегральною вздовж кожної такої прямої, як

$Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\,|d\mathbf {x} |.$

Конкретніше, параметризацію будь-якої прямої L щодо довжини дуги z завжди можна записати

$(x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,$

де s - відстань L від початку і $\alpha$ - кут, який нормальний вектор до L робить з віссю х. Звідси випливає, що величини (α, s) можна вважати координатами на просторі всіх ліній в R², а перетворення Радона в цих координатах можна виразити через

${\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz\end{aligned}}$

Більш загально, у n-вимірному евклідовому просторі Rⁿ перетворення Радона функції ƒ задовольняє умовам регулярності, є функцією R ƒ на просторі Σ_n усіх гіперплощин Rⁿ. Він визначається за допомогою

$Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} )$

для ξ   ∈Σ _n, де інтеграл взято відносно природної гіперповерхової міри, d σ (узагальнюючи |dx| доданок з двовимірного випадку). Зауважте, що будь-який елемент Σ _n характеризується як місце рішення рівняння

$\mathbf {x} \cdot \alpha =s$

де α ∈ Sⁿ⁻¹ - одиничний вектор і s ∈ R. Таким чином, n-вимірне перетворення Радона може бути записане як функція на S ⁿ⁻¹×R

$Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).$

Можливо також ще більше узагальнити перетворення Радона шляхом інтеграції замість k-вимірних афінних підпросторів Rⁿ. Рентгенівська трансформація є найбільш широко використовуваним особливим випадком цієї конструкції, і її отримують шляхом інтеграції з прямими лініями.

Зв'язок з перетворенням Фур'є

Обчислення двовимірного перетворення Радона через два перетворення Фур'є.

Перетворення Радона тісно пов'язане з перетворенням Фур'є. Ми визначаємо тут універсальне перетворення Фур'є як

${\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.$

і для функції для 2-х векторів $\mathbf {x} =(x,y)$,

${\hat {f}}(\mathbf {w} )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.$

Для зручності позначте ${\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)$. Тоді теорема Фур'є про зріз функції констатує

${\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))$

де

$\mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).$

Таким чином, двовимірне перетворення Фур'є початкової функції вздовж лінії під кутом нахилу $\alpha$ - це одне змінне перетворення Фур'є перетворенням Радона (придбане під кутом $\alpha$ ) цієї функції. Цей факт може бути використаний для обчислення як перетворення Радона, так і його зворотного.

Результат можна узагальнити в n вимірах

${\hat {f}}(r\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.$

Подвійне перетворення

Подвійне перетворення Радона є своєрідним примиканням до перетворення Радона. Починаючи з функції g на просторі Σ_n, подвійне перетворення Радона є функцією ${\mathcal {R}}^{*}g$ на R ⁿ визначено

${\mathcal {R}}^{*}g(x)=\int _{x\in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).$

Інтеграл тут береться за множину всіх гіперпланів, що падають з точкою х ∈ Rⁿ, а міра d є унікальною мірою ймовірності на множині $\{\xi |x\in \xi \}$ інваріант під обертаннями навколо точки x.

Конкретно, для двовимірного перетворення Радона подвійне перетворення задається таким чином

${\mathcal {R}}^{*}g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .$

У контексті обробки зображень подвійне перетворення зазвичай називають зворотним проекцією оскільки воно приймає функцію, визначену в кожній лінії в площині, і «розмазує» або проектує її назад по лінії для створення зображення.

Переплетення власності

Нехай Δ позначає оператор Лапласа на R ⁿ:

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}.$

Це природний обертальний інваріантний диференціальний оператор другого порядку. На Σ_n "радіальна" друга похідна

$Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)$

також ротаційно інваріантний. Перетворення Радона та його подвійний є переплетеними операторами для цих двох диференціальних операторів у тому сенсі, що

${\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g).$

Аналізуючи рішення хвильового рівняння в декількох просторових вимірах, властивість переплетення призводить до поступального представлення Лакса і Філіпса . У візуалізації та чисельному аналізі це використовується для зменшення багатовимірних задач на одновимірні, як метод розмірного розщеплення.

Підходи до реконструкції

Процес реконструкції створює зображення (або функцію $f$ у попередньому розділі) з його проекційних даних. Реконструкція - зворотня проблема.

Формула інверсії радону

У двовимірному випадку найбільш часто використовується аналітична формула для відновлення $f$ знаючи його перетворення Радона за допомогою формули відфільтрованої зворотньюї проекції або формули інверсії Радона:

$f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )d\theta$

де $h$ таке, що ${\hat {h}}(k)=|k|$.

Ядро згортки $h$ в деякій літературі згадується як фільтр Рампа.

Недоброзичливість

Інтуїтивно, у відфільтрованій формулі зворотного проектування, за аналогією з диференціацією, для якої $\left({\widehat {{\frac {d}{dx}}f}}\right)\!(k)=ik{\widehat {f}}(k)$, ми бачимо, що фільтр виконує операцію, аналогічну до брання похідної. Грубо кажучи, тоді фільтр робить об'єкти більш сингулярними.

Кількісне твердження про недоброзичливість радонової інверсії полягає в наступному:

Ми маємо ${\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )$

де ${\mathcal {R}}^{*}$ є раніше визначеним примиканням до Радонової трансформації.

Таким чином для $g(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }$ ,

${\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g={\frac {1}{||\mathbf {k_{0}} ||}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }$.

Складний показник $e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }$ таким чином, є власною функцією ${\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}$ із власним значенням ${\frac {1}{||\mathbf {k_{0}} ||}}$. Таким чином, сингулярні значення ${\mathcal {R}}$ є ${\sqrt {\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}}$. Оскільки ці особливі значення мають прямувати до 0, ${\mathcal {R}}^{-1}$ є необмеженим.

Ітеративні методи реконструкції

Порівняно з методом відфільтрованого зворотного проектування, ітеративна реконструкція коштує великих витрат на обчислення, обмежуючи її практичне використання. Однак через недоброзичливість інверсії радону метод фільтруваної зворотної проекції може виявитися нездійсненним при наявності розриву або шуму. Методи ітеративної реконструкції (наприклад, ітеративна розріджена асимптотична мінімальна різниця SAMV) можуть забезпечити зменшення артефактів металу, зменшення шуму та дози для реконструкції результату, що привертає великий науковий інтерес у всьому світі.

Формули інверсії

Явні та обчислювально ефективні формули інверсії для перетворення Радона та його подвійності. Перетворення Радона в n розмірах може бути інвертованим формулою

$c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,$

де

$c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}.$

а потужність Лаплаціана (−Δ)^(n−1)/2 визначається як псевдодиференціальний оператор при необхідності перетворенням Фур'є

$\left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\phi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\phi )(\xi ).$

Для обчислювальних цілей, потужність Лаплаціани змішується з подвійним перетворенням R^*, щоб отримати

$c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\rm {\ odd}}\\R^{*}H_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\rm {\ even}}\end{cases}}$

де H_s - перетворення Гільберта відносно змінної s. У двох вимірах оператор H_sd/ds з'являється в обробці зображень як рамповий фільтр. Можна легко довести з теореми Фур'є про зріз і зміни змінних для інтеграції, що для компактно підтримуваної безперервної функції ƒ двох змінних

через

$f={\frac {1}{2}}R^{*}H_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.$

Таким чином, в контексті обробки зображень вихідне зображення ƒ може бути відновлено з даних "синограми" Rƒ шляхом застосування рамповиго фільтру (у $s$ змінній), а потім зворотнього проектування. Оскільки етап фільтрації може бути виконаний ефективно (наприклад, використовуючи методи цифрової обробки сигналу), а один крок звоотнього проектування є просто накопиченням значень у пікселях зображення, це призводить до високоефективного, а отже, широко використовуваного алгоритму.

Явно формула інверсії, отримана останнім методом

$f(x)={\frac {1}{2}}(2\pi )^{1-n}(-1)^{(n-1)/2}\int _{S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x)\,d\alpha$

якщо n непарне, і

$f(x)=(2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{q}}\int _{S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x+q)\,d\alpha \,dq$

якщо n парне.

Подвійне перетворення також може бути обернено аналогічною формулою:

$c_{n}g=(-L)^{(n-1)/2}R(R^{*}g).\,$

Перетворення Радона в алгебраїчній геометрії

В алгебраїчній геометрії перетворення Радона (також відоме як перетворення Брилінського-Радона) будується наступним чином.

Пишуть

$\mathbf {P} ^{d}{\stackrel {p_{1}}{\gets }}H{\stackrel {p_{2}}{\to }}\mathbf {P} ^{\vee ,d}$

для універсальної гіперплощини, тобто H складається з пар (x, h), де x - точка в d-вимірному проективному просторі $\mathbf {P} ^{d}$ і h - точка у подвійному проекційному просторі (іншими словами, x є лінією через початок у (d+1)-вимірному афінному просторі, а h - гіперплан у цьому просторі), такий, що x міститься в h.

Тоді перетворення Брилінкського – Радона є функтором між відповідними похідними категоріями еталевих снопів

$Rad:=Rp_{2,*}p_{1}^{*}:D(\mathbf {P} ^{d})\to D(\mathbf {P} ^{\vee ,d}).$

Основна теорема про це перетворення полягає в тому, що це перетворення прецирує еквівалентність категорій перекручених снопів на проективному просторі та його подвійному проективному просторі аж до постійних пучків.

Дивись також

• Періодограма
• Відповідний фільтр
• Деконволюція
• Рентгенівська трансформація
• Функція перетворення
• Перетворення Хаффа, коли воно пишеться у безперервній формі, дуже схоже, якщо не еквівалентне, перетворенню Радона.
• Теорема Коші-Крофтона є тісно пов'язаною формулою для обчислення довжини кривих у просторі.
• Швидке перетворення Фур'є

Список літератури

• Radon, Johann (1917), Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten, Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Reports on the proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences at Leipzig, mathematical and physical section], Leipzig: Teubner (69): 262—277; Translation: Radon, J.; Parks, P.C. (translator) (1986), On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, IEEE Transactions on Medical Imaging, 5 (4): 170—176, doi:10.1109/TMI.1986.4307775, PMID 18244009.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Перетворення Радона, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Helgason, Sigurdur (1984), Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions, Academic Press, ISBN 0-12-338301-3.
• Candès, Emmanuel (February 2, 2016a). Applied Fourier Analysis and Elements of Modern Signal Processing - Lecture 9 (PDF).
• Candès, Emmanuel (February 4, 2016b). Applied Fourier Analysis and Elements of Modern Signal Processing - Lecture 10 (PDF).
• Nygren, Anders J. (1997). Filtered Back Projection. Tomographic Reconstruction of SPECT Data.
• van Ginkel, M.; Hendricks, C.L. Luengo; van Vliet, L.J. (2004). A short introduction to the Radon and Hough transforms and how they relate to each other (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 29 липня 2016.

Подальше читання

• Lokenath Debnath; Dambaru Bhatta (19 April 2016). Integral Transforms and Their Applications. CRC Press. ISBN 978-1-4200-1091-6.
• Deans, Stanley R. (1983), The Radon Transform and Some of Its Applications, New York: John Wiley & Sons
• Helgason, Sigurdur (2008), Geometric analysis on symmetric spaces, Mathematical Surveys and Monographs, т. 39 (вид. 2nd), Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/surv/039, ISBN 978-0-8218-4530-1, MR 2463854
• Herman, Gabor T. (2009), Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections (вид. 2nd), Springer, ISBN 978-1-85233-617-2
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Radon transform, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Natterer, Frank (June 2001), The Mathematics of Computerized Tomography, Classics in Applied Mathematics, т. 32, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-493-1
• Natterer, Frank; Wübbeling, Frank (2001), Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-472-9
• Kiehl, Reinhardt; Weissauer, Rainer (2001), Weil conjectures, perverse sheaves and l'adic Fourier transform, Springer, doi:10.1007/978-3-662-04576-3, ISBN 3-540-41457-6, MR 1855066

Зовнішні посилання

• Weisstein, Eric W. {{{title}}}(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Analytical projection (the Radon transform) (video). 10 вересня 2015.