Теорема Машке

В математиці, теорема Машке, — теорема в теорії представлень груп щодо розкладу представлень скінченних груп на незвідні представлення. Теорема Машке дозволяє робити висновки про представленя скінченних груп G без їх обчислень. Вона зводить задачу класифікації всіх представлень до задачі класифікації незвідних представлень, на пряму суму яких розкладається довільне представлення.

Твердження

Мовою теорії груп

Якщо V є представленням групи G над полем F характеристика якого не ділить порядок групи G і W є підпростором інваріантним щодо представлення, тоді існує інший підпростір U у V, що є інваріантим щодо представлення і V=W⊕U.

Як наслідок для довільного представлення групи G над полем характеристика якого не ділить порядок групи G, векторний простір V є прямою сумою підпросторів обмеження представлення на які є незвідними представленнями.

Мовою теорії модулів

При цьому підході до представлень скінченних груп, представлення групи G замінюється модулем над її груповою алгеброю K[G] (точніше існує ізоморфізм категорій між K[G]-Mod і Rep_G). Незвідні представлення при цьому відповідають простим модулям. Тоді теорему Машке можна сформулювати так:

Нехай G — скінченна група і K поле характеристика якого не ділить порядок групи G. Тоді K[G], групова алгебра групи G, є напівпростою. Як наслідок кожен модуль над K[G] є напівпростим модулем.

Оскільки для будь-якого представлення групи простір представлення можна вважати модулем множення елементів групи на якому визначається дією лінійного оператора в представленні групи, то попереднє формулювання теореми є наслідком формулювання для модулів і групових алгебр.

Цей варіант твердження дозволяє застосувати для вивчення представлень теорію напівпростих кілець, зокрема теорему Артіна - Веддерберна. Коли K є полем комплексних чисел, звідси випливає, що алгебра K[G] є добутком кількох копій комплексних матричних алгебр, по одній для кожного незвідного представлення. Кількість цих незвідних представлень при цьому рівна кількості класів спряженості групи. Якщо поле K має характеристику рівну нулю, але не є алгебрично замкнутим, наприклад, K є полем дійсних чи раціональних чисел, тоді групова алгебра K[G] є добутком матричних алгебр над деякими тілами над K. Доданки при цьому знову ж відповідають незвідним представленням групи G над K.

Доведення

Нехай V — K[G]-підмодуль. Доведемо, що V є прямим доданком. Нехай $\pi$ — довільна K-лінійна проєкція K[G] на V. Розглянемо відображення $\varphi :K[G]\to V$ задане як (зауважимо, що для можливості задання цього відображення критичним є те, що $\#G$ не є рівним нулю у полі K; це є наслідком умови на характеристику поля і порядок групи):

$\varphi (x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot x).$

Тоді відображення $\varphi$ є очевидно K-лінійним і відображає K[G] на V. Також для довільних $x\in V,\;s\in G$ маємо $\pi s^{-1}x=s^{-1}x$. Звідси для $x\in V$ отримуємо $\varphi (x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}x=x$, тобто відображення є тотожним на V. Крім того маємо

${\begin{aligned}\varphi (t\cdot x)&={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot t\cdot x)\\{}&={\frac {1}{\#G}}\sum _{u\in G}t\cdot u\cdot \pi (u^{-1}\cdot x)\\{}&=t\cdot \varphi (x),\end{aligned}}$

тому $\varphi$ є також K[G]-лінійним. Отож $\varphi$ є K[G]-лінійною проєкцією і тому $K[G]=V\oplus \ker \varphi$. Тобто довільний підмодуль K[G] є прямим доданком, тож, K[G] є напівпростою алгеброю.

Приклади

• Нехай $G=S_{n}$ — симетричній групі перестановок n елементів. Для цієї групи існує природне представлення у n-вимірному векторному просторі над довільним полем. Це відображення задане так: якщо $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ — базис такого простору, то лінійний оператор для перестановки $\sigma$ діє як $\sigma (e_{i})=e_{\sigma (i)}$.

Очевидно, що одновимірний простір породжений вектором $e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{n}$ буде інваріантним щодо вказаного представлення. Його доповненням буде простір породжений векторами $e_{1}-e_{2},e_{2}-e_{3},\ldots ,e_{n-1}-e_{n}$.

• Доведена теорема є у загальному випадку невірною для нескінченних груп. Прикладом може бути нескінченна циклічна група — адитивна група цілих чисел. Відображення $\phi$, яке числу k ставить у відповідність матрицю $\Phi (k)={\begin{pmatrix}1&0\\k&1\end{pmatrix}}$ , є двовимірним представленням цієї групи, оскільки $\Phi (k)\Phi (m)=\Phi (k+m)$. Одновимірний підпростір породжений вектором $\{e_{2}\}$ є інваріантним відносно всіх операторів $\Phi (k)$, але для нього не знайдеться інваріантного доповнюючого підпростору, оскільки двовимірний простір V представлення $\phi$ не має ніяких інших підпросторів, інваріантних відносно $\phi$. Справді, власні значення усіх матриць $\Phi (k)$ рівні 1 і всі власні вектори є колінеарними $e_{2}$. Натомість для теореми існують узагальнення для деяких типів нескінченних груп, наприклад для компактних топологічних груп.
• Умова на характеристику поля K є необхідною. Більш того, якщо характеристика поля K ділить порядок групи G то K[G] не є напівпростою алгеброю.

Для $x=\sum _{g\in G}\lambda _{g}g\in K[G]$ визначимо $\epsilon (x)=\sum _{g\in G}\lambda _{g}$. Нехай $I=\ker \epsilon$. тоді I є K[G]-підмодулем. Доведемо, що для кожного нетривіального підмодуля V алгебри K[G], $I\cap V\neq 0$. Нехай V — деякий підмодуль, і нехай $v=\sum _{g\in G}\mu _{g}g$ - довільний ненульовий елемент у V. Якщо$\epsilon (v)=0$, то відразу $v\in I\cap V$. В іншому випадку, нехай $s=\sum _{g\in G}1g$. Тоді $\epsilon (s)=\#G\cdot 1=0$, тож $s\in I$ і $sv=\left(\sum 1g\right)\left(\sum \mu _{g}g\right)=\sum \epsilon (v)g=\epsilon (v)s$, тож $sv$ є ненульовим елементом I і V. Це доводить, що V не є прямий доповненням I для всіх V, тож K[G] не є напівпростою алгеброю.

Див. також

• Лема Шура
• Напівпростий модуль
• Теорема Веддерберна — Артіна

Література

• Пилипів В. М. Теорія представлень груп та її застосування(навчальний посібник). — Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008. — 156 с.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8.
• James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.
• Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6.