Закон великих чисел

Закон великих чисел в теорії імовірностей стверджує, що емпіричне середнє (арифметичне середнє) скінченної вибірки із фіксованого розподілу близьке до теоретичного середнього (математичного сподівання) цього розподілу. В залежності від виду збіжності розрізняють слабкий закон великих чисел, коли має місце збіжність за ймовірністю, і посилений закон великих чисел, коли має місце збіжність майже скрізь.

Завжди знайдеться така кількість випробувань, при якій з будь-якою заданою наперед імовірністю частота появ деякої події буде як завгодно мало відрізнятися від її імовірності.

Форми ЗВЧ

Нижче описано дві версії ЗВЧ: Слабкий закон великих чисел та Посилений закон великих чисел. Обидва закони стверджують, що з певною достовірністю середнє вибірки

$\overline{X}_n=\frac1n(X_1+\cdots+X_n)$

прямує до математичного сподівання

$\overline{X}_n \, \to \, \mu, \qquad\ \qquad n \to \infty$

де X₁, X₂, ... — скінченна послідовність н.о.р. випадкові величини зі скінченним математичним сподіванням E(X₁) = E(X₂) = ... = µ < ∞.

Слабкий закон великих чисел

Нехай є нескінченна послідовність однаково розподілених і некорельованих випадкових величин $\{X_i\}_{i=1}^{\infty}$, визначених на одному імовірносному просторі $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$. Їх коваріація $\mathrm{cov}(X_i,X_j) = 0,\; \forall i \not=j$. Нехай$\mathbb{E}X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb{N}$. Позначимо $\displaystyle S_n$ вибіркове середнє перших $\displaystyle n$ членів:

$S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,\; n \in \mathbb{N}$.

Тоді $S_n \to^{\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} \mu$.

Посилений закон великих чисел

Нехай є нескінченна послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин $\{X_i\}_{i=1}^{\infty}$, визначених на одному ймовірнісному просторі $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$. Нехай $\mathbb{E}X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb{N}$. Позначимо $\displaystyle S_n$ вибіркове среднє перших $\displaystyle n$ членів:

$S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,\; n \in \mathbb{N}$.

Тоді $S_n \to \mu$ майже напевно.

Різниця між слабким і посиленим законами великих чисел

Слабкий закон стверджує, що для великого числа n, середнє значення $\overline{X}_n$ правдоподібно є близько до μ. Отже, залишається можливість того, що $|\overline{X}_n -\mu| > \varepsilon$ трапляється нескінченну кількість разів, хоча й на рідкісних інтервалах.

Посилений закон стверджує що це майже напевно не станеться. Зокрема, це означає що з імовірністю 1, для кожного ε > 0 нерівність $|\overline{X}_n -\mu| < \varepsilon$ виконується для всіх достатньо велеких n.

ЗВЧ Бореля

Закон великих чисел Бореля, на честь Еміля Бореля, стверджує, що якщо повторювати експеримент багато раз за тих самих умов і незалежно від інших спроб, то частота певної події наближено дорівнює ймовірності випадання цієї події в кожному окремому експерименті; чим більша кількість повторень тим краще наближення. Точніше, якщо E — подія, p ймовірність цієї події і N_n(E) — число разів коли в експерименті випадає подія E в n перших спробах, тоді з ймовірністю 1:

$\frac{N_n(E)}{n}\to p\text{ as }n\to\infty.\,$

Ця теорема строго формалізує інтуїтивне поняття ймовірності як граничної частоти випадання події в експерименті. Теорема є частковим випадком інших загальніших законів великих чисел в теорії ймовірності.

Література

• Ширяев А. Н. Вероятность, — М: Наука. 1989. (рос.)
• Чистяков В. П. Курс теории вероятностей, — М., 1982. (рос.)