Закон великих чисел

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Закон великих чисел в теорії імовірностей стверджує, що емпіричне середнє (арифметичне середнє) скінченної вибірки із фіксованого розподілу близьке до теоретичного середнього (математичного сподівання) цього розподілу. В залежності від виду збіжності розрізняють слабкий закон великих чисел, коли має місце збіжність за ймовірністю, і посилений закон великих чисел, коли має місце збіжність майже скрізь.

Завжди знайдеться така кількість випробувань, при якій з будь-якою заданою наперед імовірністю частота появ деякої події буде як завгодно мало відрізнятися від її імовірності.

Форми ЗВЧ[ред.ред. код]

Нижче описано дві версії ЗВЧ: Слабкий закон великих чисел та Посилений закон великих чисел. Обидва закони стверджують, що з певною достовірністю середнє вибірки

\overline{X}_n=\frac1n(X_1+\cdots+X_n)

прямує до математичного сподівання

\overline{X}_n \, \to \, \mu, \qquad\ \qquad n \to \infty

де X1, X2, ... — скінченна послідовність н.о.р. випадкові величини зі скінченним математичним сподіванням E(X1) = E(X2) = ... = µ < ∞.


Слабкий закон великих чисел[ред.ред. код]

Нехай є нескінченна послідовність однаково розподілених і некорельованих випадкових величин \{X_i\}_{i=1}^{\infty}, визначених на одному імовірносному просторі (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}). Їх коваріація \mathrm{cov}(X_i,X_j) = 0,\; \forall i \not=j. Нехай\mathbb{E}X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb{N}. Позначимо \displaystyle S_n вибіркове середнє перших \displaystyle n членів:

S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,\; n \in \mathbb{N}.

Тоді S_n \to^{\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} \mu.

Посилений закон великих чисел[ред.ред. код]

Нехай є нескінченна послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин \{X_i\}_{i=1}^{\infty}, визначених на одному ймовірнісному просторі (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}). Нехай \mathbb{E}X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb{N}. Позначимо \displaystyle S_n вибіркове среднє перших \displaystyle n членів:

S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,\; n \in \mathbb{N}.

Тоді S_n \to \mu майже напевно.

Різниця між слабким і посиленим законами великих чисел[ред.ред. код]

Слабкий закон стверджує, що для великого числа n, середнє значення \overline{X}_n правдоподібно є близько до μ. Отже, залишається можливість того, що |\overline{X}_n -\mu| > \varepsilon трапляється нескінченну кількість разів, хоча й на рідкісних інтервалах.

Посилений закон стверджує що це майже напевно не станеться. Зокрема, це означає що з імовірністю 1, для кожного ε > 0 нерівність |\overline{X}_n -\mu| < \varepsilon виконується для всіх достатньо велеких n.[1]

ЗВЧ Бореля[ред.ред. код]

Закон великих чисел Бореля, на честь Еміля Бореля, стверджує, що якщо повторювати експеримент багато раз за тих самих умов і незалежно від інших спроб, то частота певної події наближено дорівнює ймовірності випадання цієї події в кожному окремому експерименті; чим більша кількість повторень тим краще наближення. Точніше, якщо E — подія, p ймовірність цієї події і Nn(E) — число разів коли в експерименті випадає подія E в n перших спробах, тоді з ймовірністю 1:

 \frac{N_n(E)}{n}\to p\text{ as }n\to\infty.\,

Ця теорема строго формалізує інтуїтивне поняття ймовірності як граничної частоти випадання події в експерименті. Теорема є частковим випадком інших загальніших законів великих чисел в теорії ймовірності.

Література[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]