Малий зірчастий додекаедр

Малий зірчастий додекаедр
Тип	Тіло Кеплера — Пуансо
Зірчаста форма	Правильного додекаедра
Властивості	Неопуклий, рівносторонній, правильний зірчастий багатогранник, гране-транзитивний, вершинно-транзитивний.
Комбінаторика
Елементи	12 граней 30 ребер 12 вершин 5-го степеня
Грані {p}	12 Пентаграм = 12 {5/2}.
Характеристика Ейлера	$\chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=-6$
Конфігурація вершини	(5/2)5 (тобто кожна вершина оточена п'ятьма пентаграмами)
Вершинна фігура	12 Правильних п'ятикутників {5} :стор.435 ; , з довжиною сторони ${\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$
Щільність	3
Рід	4
Класифікація
Позначення	• W20 (в нотації М. Веннінґера) • U34 (як однорідний багатогранник) • C43 (в нотації Коксетера) :стор.435
Символ Шлефлі {p, q}	{5/2,5}
Діаграма Коксетера — Динкіна	(або o5o5/2x)
Символ Вітгоффа	5 | 2 5/2
Група симетрії	Ih, H3, [5,3], (*532), порядок 120 (Повна симетрія правильного ікосаедра)
Двоїстий багатогранник	Великий додекаедр
Розгортка

Малий зірчастий додекаедр ^{:стор.18 ;:стор.443-444} — один з чотирьох правильних зірчастих багатогранників Кеплера — Пуансо.

Малий зірчастий додекаэдр вперше повністю описано в трактаті Йоганна Кеплера 1619 року «Harmonices Mundi»^{:стор.167}, а назву йому дав Артур Кейлі в 1859 році. ^{:стор.410}

Має 12 граней — правильних пентаграм (п'ятипроменевих зірок), які перетинаються між собою та 12 вершин.

Його символ Шлефлі — $\left\{{\frac {5}{2}},5\right\}$. Це означає, що кожна вершина оточена 5-ма гранями (пентаграмами {5/2}). ^{:стор.410}

Має центральну опуклу ділянку кожної грані, «приховану» всередині, при цьому зовні видно тільки трикутні площини.

Розташування вершин (опукла оболонка) малого зірчастого додекаедра є правильний ікосаедр.

Як зірчаста форма додекаедра

Діаграма ззірчення правильного додекаедра та грань малого зірчастого додекаедра на ній

Жовтим кольором зображено грань малого зірчастого додекаедра

Утворення грані малого зірчастого додекаедра

Малий зірчастий додекаедр є першою зірчастою формою правильного додекаедра. Його грані складені з нульового та першого відсіків на діаграмі ззірчення правильного додекаедра. ^:стор.19

Малий зірчастий додекаедр утворюється з правильного додекаедра при продовженні його ребер до їх взаємного перетину, тобто кожна грань α правильного додекаедра замінюється зірчастим п'ятикутником з ядром α.^{:стор.443}

Також малий зірчастий додекаедр є радіально-опуклим зірчастим багатогранником, тобто кожен промінь, що виходить з його центра, перетинає багатогранник лише в одній точці.

Як нарощення додекаедра

Часто малий зірчастий додекаедр визначається як багатогранник, утворений нарощенням на гранях додекаедра правильних п'ятикутних пірамід.

Сам Йоганн Кеплер називає цей багатогранник (малий зірчастий додекаедр) нарощеним додекаедром (а пізніше Echinus).

Це некоректне визначення іноді використовується й до цього часу. Наприклад, MathWorld стверджує, що малий зірчастий додекаедр може бути отриманий шляхом додавання правильних п'ятикутних пірамід до граней правильного додекаедра.

Однак це твердження придатне лише для полегшення візуалізації цього багатогранника, або для виготовлення його паперової моделі, або для обчислення його розмірів, але не для його визначення як тіла, так як при приєднанні (нарощенні) пірамід (з боковими гранями — золотими трикутниками) до граней додекаедра, в багатограннику присутні «хибні» вершини (ті, що знаходяться на перетині ребер), які насправді не є вершинами малого зірчастого додекаедра, а також «зайві» ребра (два ребра п'ятикутних пірамід та одне ребро додекаедра лежать на одній прямій і візуально створюють враження одного ребра).

Багатогранник, утворений приєднанням прямих п'ятикутних пірамід до граней додекаедра, є топологічно еквівалентним до пентакісдодекаедра (одного з тіл Каталана), та не є малим зірчастим додекаедром.

Ядро (Правильний додекаедр)	Зірчастий багатогранник	Багатогранник Каталана (Пентакісдодекаедр)

Топологія

Малий зірчастий додекаедр має 12 граней (пентаграм), при цьому ці пентаграми реретинаються по 30 ребрах в 12 вершинах. Отже, його характеристика Ейлера має значення $-6$, і ми можемо обчислити його рід за допомогою формули Ейлера:

$\Gamma -P+B=2-2g$

Отже, $-6=2-2g$. Звідки випливає, що малий зірчастий додекаедр має рід $g=4$ . Це спостереження, зроблене Луї Пуансо, спочатку викликало плутанину, але Фелікс Кляйн показав у 1877 році, що малий зірчастий додекаедр можна розглядати як розгалуджене покриття сфери Рімана рімановою поверхнею роду 4, з точками розгалуження в центрі кожної пентаграми. Насправді ця ріманова поверхня, яка називається кривою Брінга, має найбільшу кількість симетрій серед будь-яких ріманових поверхонь роду 4: група симетрії $S_{5}$ виступає як автоморфізм.

Формули

У всіх формулах нижче: $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.6180339887$ — відношення «золотого перетину».

Для малого зірчастого додекаедра з довжиною ребра $a$:
Довжина основи рівнобедреного трикутника грані (довжина сторони базового додекаедра)	$b=\left({\sqrt {5}}-2\right)\cdot a$	≈ 0.236067977$\cdot a$
Довжина бічної сторони рівнобедреного трикутника грані	$s={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\cdot a=\left(2-\varphi \right)\cdot a$	≈ 0.381966011$\cdot a$
Висота «нарощеної піраміди»	$H=R-r={\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{5}}}\cdot a$	≈ 0.324919696$\cdot a$
Радіус описаної сфери (проходить через всі вершини)	$R={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\cdot a={\frac {\sqrt {3-\varphi }}{2}}\cdot a$	≈ 0.587785252$\cdot a$
Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)	$\rho ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\cdot a={\frac {\varphi -1}{2}}\cdot a$	≈ 0.309016994$\cdot a$
Радіус вписаної сфери (дотикається до всіх граней)	$r={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\cdot a={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3-\varphi }{5}}}\cdot a$	≈ 0.262865556$\cdot a$
Площа поверхні	$S=15\cdot {\sqrt {85-38{\sqrt {5}}}}\cdot a^{2}=15\cdot \left(5-3\varphi \right){\sqrt {3-\varphi }}\cdot a^{2}$	≈ 2.572701377$\cdot a^{2}$
Об'єм	$V=V_{\text{додек}}+12\cdot V_{\text{пірам}}={\frac {5}{4}}\cdot \left(5{\sqrt {5}}-11\right)\cdot a^{3}$	≈ 0.225424859$\cdot a^{3}$
Двогранний кут між гранями	$\alpha =\arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)=2\cdot \arctan(\varphi )$	≈ 2.034443935 rad ≈ 116°33′ 54.1842′′

Описана сфера малого зірчастого додекаедра

Напіввписана сфера малого зірчастого додекаедра

Вписана сфера малого зірчастого додекаедра

Координати вершин

Вершини малого зірчастого додекаедра в декартовій системі координат

Малий зірчастий додекаедр з довжиною ребра $a=1$ в декартовій системі координат має вершини з наступними координатами:

• $\left(-{\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}}{6}}},0,{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {3+{\sqrt {5}}}{6}}}\right),$ $\left({\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}}{6}}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {3+{\sqrt {5}}}{6}}}\right);$
• $\left({\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}}{6}}},0,-{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {3+{\sqrt {5}}}{6}}}\right),$ $\left(-{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}}{6}}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},-{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {3+{\sqrt {5}}}{6}}}\right);$
• $\left({\frac {\sqrt {3}}{3}},0,{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{6}}}\right),$ $\left(-{\frac {\sqrt {3}}{6}},\pm {\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{6}}}\right);$
• $\left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}},0,-{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{6}}}\right),$ $\left({\frac {\sqrt {3}}{6}},\pm {\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{6}}}\right).$

При цьому вершини лежать в чотирьох паралельних площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини правильного трикутника.

Початок координат збігається з центром багатогранника, що є його центром симетрії та центром вписаної, напіввписаної та описаної сфер.

Вісь Oz збігається з однією з осей симетрії 6-го порядку, а вісь Oy — з однією з осей симетрії 2-го порядку.

Площина Oxz збігається з однією з площин симетрії багатогранника.

Пов'язані багатогранники

Опукла оболонка малого зірчастого додекаедра є правильним ікосаедром.

Ребра малого зірчастого додекаедра збігаються з ребрами великого ікосаедра; поєднання цих двох багатогранників утворює вироджений багатогранник, що має назву великий комплексний ікосододекаедр.

Анімація послідовності зрізання малого зірчастого додекаедра від ⁵⁄₂, 5} до {5, ⁵⁄₂}

Існує чотири однорідних багатогранники, що утворені певними ступенями операції зрізання малого зірчастого додекаедра.

Зрізаний малий зірчастий додекаедр можна вважати виродженим однорідним багатогранником. Вершини малого зірчастого додекаедра зрізаються, поки процес не досягає площин пентаграм під ними.

Візуально він виглядає як правильний додекаедр, але має 24 подвійно-накриті грані — 12 п'ятикутників, утворених від зрізання вершин і 12 п'ятикутників, утворених від зрізання пентаграм, які перекривають перші 12 п'ятикутників. П'ятикутники із зрізаних пентаграм насправді є виродженими десятикутниками {10/2}, що приймають форму подвійно-накритих п'ятикутників із двома множинами вершин і ребер, накладених одне на одне.

Коли ⁿ⁄_d -кутник скорочується в процесі зрізання, він стає ²ⁿ⁄_d -кутником.

Наприклад, зрізаний п'ятикутник { ⁵⁄₁ } стає десятикутником { ¹⁰⁄₁ }, а зрізана пентаграма { ⁵⁄₂ } стає подвійно-накритим п'ятикутником (тобто десятикутником, що має форму п'ятикутника) { ¹⁰⁄₂ } (це означає, що ми відвідаємо кожну вершину двічі, щоб завершити багатокутник).

Додекадодекадр утворюється при повному зрізанні (ректифікації) малого зірчастого додекаедра, коли зрізання вершин проводиться до точок, що лежать на серединах ребер багатогранника, тобто ребра початкового багатогранника фактично зникають.

Двоїстий до малого зірчастого додекаедра є великий додекаедр.

Назва	Малий зірчастий додекаедр	Зрізаний малий зірчастий додекаедр	Додекадодекадр	Зрізаний великий додекаедр	Великий додекаедр
Діаграма Коксетера — Динкіна	o5o5/2x	o5x5/2x	o5x5/2o	x5x5/2o	x5o5/2o
Символ Шлефлі	{5/2,5}	t{5/2,5}	r{5,5/2}	t{5,5/2}	{5,5/2}
Зображення

Родина зірчастих форм правильного додекаедра.

Зірчасті форми правильного додекаедра
	Тіло Платона	Тіла Кеплера — Пуансо
	Додекаедр	Малий зірчастий додекаедр	Великий додекаедр	Великий зірчастий додекаедр
Символ Шлефлі {p, q}	{5,3}	{5/2,5}	{5,5/2}	{5/2,3}
Зображення
Діаграма зірчастого многогранника
Обертання

Топологічно еквівалентний багатогранник до малого зірчастого додекаедра

Два однорідних поєднання багатогранників складаються з малих зірчастих додекаедрів:

• Поєднання двох малих зірчастих додекаедрів
• Поєднання п'яти малих зірчастих додекаедрів

Додатково

Обертання багатогранника	Сферична проєкція	Багатокутник Петрі	Розгортка	Паперова модель багатогранника
	Цей багатогранник також можна подати у вигляді сферичної плитки зі щільністю 3. (Одна сферична грань пентаграми, обведена синім і заповнена жовтим кольорами)	Просторовий шестикутник Петрі малого зірчастого додекаедра	× 12 Малий зірчастий додекаедр можна скласти з паперу, з'єднавши разом 12 правильних п'ятикутних пірамід. Кожен рівнобедрений трикутник (золотий трикутник) в цій розгортці візуально представляє частину пентаграми — грані малого зірчастого додекаедра.

В мистецтві та архітектурі

Мозаїка Паоло Учелло, 1430

• Малий зірчастий додекаедр можна побачити в мозаїці полу в соборі Святого Марка в Венеції, автор Паоло Учелло, біля 1430 року.
• Багатогранник є центральною фігурою в двох літографіях Ешера — Контраст (Порядок і хаос) (1950) та Гравітація^[en] (1952).

Скульптура в парку Нью Мерсі

Скульптура за мотивами «Гравітації» Моріца Корнеліса Ешера, представлена ​​в Університеті Твенте

Див. також

• Поєднання малого зірчастого додекаедра та великого додекаедра

Література

• Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models [Моделі багатогранників] (англ.) . Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
• Magnus J. Wenninger (1975). Polyhedron Models for the Classroom. (PDF) (англ.) . № Вид. 2-ге. National Council of Teachers of Mathematics, Inc.,Reston, Va. с. 64.
• H. S. M. Coxeter. Uniform polyhedra / M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, № 916. — С. 401—450. — ISSN 0080-4614. — DOI:10.1098/rsta.1954.0003.
• Arthur Cayley. The Collected Mathematical Papers. — Richmond, Surrey : Garden House, Cambridge, 1891. — Т. 4. — С. 82-87. — (On Poinsot’s Four New Regular Solids (розділ 241-242 ))
• J. Conrad, C. Chamberland, N. P. Breuckmann, B. M. Terhal (13 липня 2018). The small stellated dodecahedron code and friends. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences (англ.). 376 (2123): 20170323. doi:10.1098/rsta.2017.0323. ISSN 1364-503X. PMC 5990658. PMID 29807900. Архів оригіналу за 20 серпня 2021.{{cite journal}}: Обслуговування CS1: Сторінки з PMC з іншим форматом (посилання)
• Cayley, Arthur (1859). XIX. On Poinsot's four new regular solids. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Taylor & Francis. 17 (112): 123—128.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Small Stellated Dodecahedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Dodecahedron Stellations(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Small stellated dodecahedron(англ.) на сайті Polytope Wiki.
• Small Stellated Dodecahedron (англ.) на сайті dmccooey.com.
• Nan Ma. «Small stellated dodecahedron {5/2, 5}»
• Klitzing, Richard. «sissid»
• Однорідні багатогранники та двоїсті до них
• Stellation and facetting — a Brief History