Рівняння Релея — Плессета

Рівняння Релея-Плессета часто застосовуються для вивчення кавітаційних бульбашок.

У гідромеханіці, рівняння Релея-Плессета являє собою звичайне диференціальне рівняння, яке визначає динаміку сферичної бульбашки в нескінченному об'ємі рідини. Загальний вигляд цього рівняння записується таким чином:

${\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}$

де

$P_{B}(t)$ — тиск всередині бульбашки

$P_{\infty }(t)$ — зовнішній тиск, джерело якого знаходиться нескінченно далеко від бульбашки

$\rho _{L}$ — густина навколишньої рідини, яка є константою

$R(t)$ — радіус бульбашки

$\nu _{L}$ — кінематична в'язкість навколишньої рідини, яка є константою

$S$ — поверхневий натяг бульбашки

За умов, що $P_{B}(t)$ відомий і $P_{\infty }(t)$ заданий, рівняння Релея–Плессета може бути використане для знаходження для мінливого у часі радіуса бульбашки $R(t)$.

Рівняння Релея–Плессета отримується з рівнянь Нав'є–Стокса при припущенні сферичної симетрії. Без урахування поверхневого натягу і в'язкості, рівняння вперше було отримано Релеєм у 1917 році. Рівняння було вперше було застосовано на так званих кавітаційних бульбашок з Плессетом в 1949 році.

Отримання

Рівняння Релея-Плессета може бути отримано з першооснов, використовуючи радіус бульбашки як динамічний параметр. Розглянемо сферичну бульбашку з радіусом, який залежить від часу, $R(t)$, де $t$ — час. Припустимо, що бульбашка містить рівномірно розподілений всередині газ/пар з однаковою всюди температурою $T_{B}(t)$ і тиском $P_{B}(t)$. Поза бульбашкою знаходиться нескінченний простір рідини, яка має густину $\rho _{L}$ і в'язкість $\mu _{L}$. Позначимо температуру і тиск, джерела яких знаходяться далеко від бульбашки, як $T_{\infty }$ і $P_{\infty }(t)$ відповідно, де $T_{\infty }$ — константа. При зміні радіальної відстані $r$ від центру бульбашки, змінюються властивості рідини, такі як тиск $P(r,t)$, температура $T(r,t)$, і радіальна швидкість $u(r,t)$. Зауважимо, що властивості рідини визначені тільки поза бульбашкою, при $r\geq R(t)$.

Збереження маси

Через закон збереження маси, закон обернених квадратів вимагає, щоб радіальна швидкість $u(r,t)$ була обернено пропорційна квадрату відстані від джерела (в центрі бульбашки). Нехай $F(t)$ — деяка функція часу,

$u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}$

У випадку перенесення нульової маси через поверхню бульбашки, швидкість всередині повинна бути

$u(R,t)={\frac {dR}{dt}}={\frac {F(t)}{R^{2}}}$

що дає

$F(t)=R^{2}dR/dt$

У разі, коли відбувається перенесення маси, швидкість збільшення маси всередині бульбашки визначається як

${\frac {dm_{V}}{dt}}=\rho _{V}{\frac {dV}{dt}}=\rho _{V}{\frac {d(4\pi R^{3}/3)}{dt}}=4\pi \rho _{V}R^{2}{\frac {dR}{dt}}$

з $V$ — об'єм бульбашки. Якщо $u_{L}$ — швидкість рідини відносно бульбашки на $r=R$, тоді масове входження в бульбашку визначається як

${\frac {dm_{L}}{dt}}=\rho _{L}Au_{L}=\rho _{L}(4\pi R^{2})u_{L}$

з $A$ — поверхня бульбашки. Тепер, використовуючи закон збереження маси $dm_{v}/dt=dm_{L}/dt$ отримаємо $u_{L}=(\rho _{V}/\rho _{L})dR/dt$. Звідси

$u(R,t)={\frac {dR}{dt}}-u_{L}={\frac {dR}{dt}}-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}{\frac {dR}{dt}}=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right){\frac {dR}{dt}}$

Тут

$F(t)=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right)R^{2}{\frac {dR}{dt}}$

У багатьох випадках, густина рідини значно перевищує густину пару, $\rho _{L}\gg \rho _{V}$, так що $F(t)$ можна апроксимувати як вихідну форму передачі нульової маси $F(t)=R^{2}dR/dt$, так що

$u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}={\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}$

Збереження імпульсу

Припускаючи, що рідина є ньютонівською, в нестискуване рівняння Нав'є–Стокса в сферичних координатах для руху в радіальному напрямку дає

$\rho _{L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]$

Підставляючи в'язкість $\nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}$, отримуємо

$-{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}-\nu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]$

Підставимо величину $u(r,t)$ зі збереження маси, отримаємо

$-{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {2R}{r^{2}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}$

Зауважимо, що в'язкість не враховуються під час заміни. Відокремимо змінні та зінтегруємо вище наведений вираз від границі бульбашки $r=R$ до $r\rightarrow \infty$, отримуємо

$-{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P_{\infty }}dP=\int _{R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]dr$

${{\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)+{\frac {R^{4}}{2r^{4}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]_{R}^{\infty }=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

Граничні умови

Позначимо $\sigma _{rr}$ як нормальне напруження в рідині, що спрямоване радіально назовні з центру бульбашки. У сферичних координатах, для рідини з постійною густиною і постійною в'язкістю, напруження має вигляд:

$\sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}$

Внаслідок чого, в якійсь невеликій частині поверхні бульбашки, сила на одиницю площі, діючи на плівку, має вигляд

${\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2S}{R}}&=-P(R)+\left.2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\&=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\\end{aligned}}$

де $S$ — поверхневий натяг. Якщо перенесення через границю відсутнє, то ця сила на одиницю площі повинна бути рівна нулю, тому

$P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2S}{R}}$

і в результаті збереження імпульсу

${\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2S}{\rho _{L}R}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}$

В результаті підстановки $\nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}$ у вище наведений вираз дає нам рівняння Релея–Плессета

${\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}$

Використовуючи точкове позначення для запису похідних по часу, рівняння Релея–Плессета можна записати більш точно

${\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}({\dot {R}})^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}$

Розв'язки

Нещодавно, були знайдені для рівняння Релея-Плессета для порожньої і газонаповненої бульбашки аналітичні розв'язки у замкнутій формі and were generalized to the N-dimensional case.. Також були проаналізовані розв'язки у випадку, коли У поверхневий натяг присутній через ефект капілярності.

Також відомі для особливих випадків, коли поверхневий натяг і в'язкість не враховується, вищі порядки апроксимації.

У статичному випадку, рівняння Релея–Плессета спрощується, внаслідок чого виникає рівняння Юнга-Лапласа:

$P_{B}-P_{\infty }={\frac {2S}{R}}$

Джерела

• Савула Я. Метод скінченних елементів (окремі сторінки посібника 1993 р. pdf)
• Шинкаренко Г. Чисельні методи математичної фізики (окремі сторінки чорновика посібника pdf)