Розподіл Максвелла — Больцмана: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Kukhkat (обговорення | внесок) |
Kukhkat (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 24: | Рядок 24: | ||
Ймовірність того, що частинка перебуває в стані з енергією <math> \varepsilon_k </math> згідно з розподілом Больцмана визначається |
Ймовірність того, що частинка перебуває в стані з енергією <math> \varepsilon_k </math> згідно з розподілом Больцмана визначається |
||
формулою: |
формулою: |
||
: <math> n_k = e^{(\mu-\varepsilon_k)/k_B T}</math>, |
: <math> n_k = e^{(\mu-\varepsilon_k)/k_B T} = Ae^((-\varepsilon_k)/k_B T}</math>, |
||
де μ — [[хімічний потенціал]], T — [[температура]], k<sub>B</sub> — [[стала Больцмана]]. |
де μ — [[хімічний потенціал]], T — [[температура]], k<sub>B</sub> — [[стала Больцмана]], A —<math>e^{(\mu)/k_B T}</math> — параметр виродження. |
||
Хімічний потенціал μ визначається з умови |
Хімічний потенціал μ визначається з умови |
Версія за 12:54, 11 вересня 2013
Розподіл Максвелла — Больцмана | |
---|---|
Щільність розподілу | |
Функція розподілу ймовірностей | |
Параметри | |
Носій функції | |
Розподіл імовірностей | |
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | де erf — функція помилок |
Середнє | |
Мода | |
Дисперсія | |
Коефіцієнт асиметрії | |
Коефіцієнт ексцесу | |
Ентропія |
Розпо́діл Ма́ксвелла — Бо́льцмана визначає ймовірність того, що частинка ідеального газу перебуває в стані з певною енергією.
Ймовірність того, що частинка перебуває в стані з енергією згідно з розподілом Больцмана визначається формулою:
- Неможливо розібрати вираз (синтаксична помилка): {\displaystyle n_k = e^{(\mu-\varepsilon_k)/k_B T} = Ae^((-\varepsilon_k)/k_B T}} ,
де μ — хімічний потенціал, T — температура, kB — стала Больцмана, A — — параметр виродження.
Хімічний потенціал μ визначається з умови
де N — число частинок.
Розподіл Больцмана справедливий тільки в тих випадках, коли . Ця умова реалізується при високих температурах.
Граничний випадок квантовомеханічних розподілів
В квантовій статистиці розподіли для ферміонів і бозонів мають різний вигляд і різні властивості. Проте при високій температурі, коли ймовірність знайти частку в будь-якому стані набагато менша за одиницю, як розподіл Фермі — Дірака так і розподіл розподіл Бозе — Ейнштейна переходять в розподіл Больцмана.
Розподіл Больцмана в класичній статистиці
В класичній статистиці частка ідеального газу має лише кінетичну енергію.
Число часток з імпульсами в проміжку визначається формулою:
- ,
де m — маса частки.
У випадку коли дана формула виражена через швидкості, а не через імпульси, вона носить назву розподілу Максвелла
- .
Розподіл Больцмана в зовнішньому потенціальному полі
У випадку, коли частки ідеального газу перебувають у зовнішньому полі з потенціалом , це збільшує їхню енергію. В такому випадку, розподіл Больцмана визначає залежну від координати густину часток:
- .
Зокрема, у випадку газу в полі тяжіння Землі це співвідношення визначає барометричну формулу
- .
Аналогічні формули справедливі для розподілу густини носіїв заряду (електронів чи дірок) у електричному полі в напівпровідникових приладах.
Див. також
- Розподіл Максвелла молекул ідеального газу за швидкостями
- Статистика Бозе — Ейнштейна
- Статистика Фермі — Дірака
Джерела
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1 // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2005. — Т. 5. — 616 с.