Функція помилок

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік функції помилок.

У математиці функція помилок — це неелементарна функція, що використовується в теорії ймовірності, статистиці і математичній фізиці. Вона визначається як

.

Доповнююча функція помилок, що позначається (іноді застосовується позначення ) визначається через функцію помилок:

.

Комплексна функція помилок, що позначається , також визначається через функцію помилок:

.

Властивості[ред.ред. код]

  • Для будь-якого комплексного виконується

де риска позначає комплексне спряження числа .

  • Функція помилок не може бути представлена через елементарні функції, але, розкладаючи інтегрований вираз в ряд Тейлора і інтегруючи почленно, ми можемо одержати її подання у вигляді ряду:

Ця рівність виконується (і ряд сходиться) як для будь-якого дійсного , так і на всій комплексній площині. Послідовність знаменників утворює Послідовність A007680 з Енциклопедії послідовностей цілих чисел.

  • Для ітеративного обчислення елементів ряду корисно представити його в альтернативному вигляді:

оскільки — співмножник, що перетворює -й член ряду в -й, вважаючи першим членом .

  • Функція помилок на нескінченності рівна одиниці; проте це справедливо тільки при наближенні до нескінченності по дійсній осі, оскільки:
  • При розгляді функції помилок в комплексній площині точка буде для неї істотно особливою.
  • Похідна функції помилок виводиться безпосередньо з визначення функції:
  • Обернена функція помилок є рядом

де c0 = 1 і

Тому ряд можна подати в наступному вигляді (помітимо, що дроби скорочені):

[1]

Послідовності чисельників і знаменників після скорочення - A092676 і A132467 у OEIS; послідовність чисельників до скорочення - A002067 у OEIS.

Доповнююча функція помилок

Застосування[ред.ред. код]

Якщо набір випадкових чисел підкоряється нормальному розподілу з стандартним відхиленням , то ймовірність, що число відхилиться від середнього не більше ніж на , рівна .

Функція помилок і додаткова функція помилок зустрічаються при розв'язанні деяких диференціальних рівнянь, наприклад, рівняння теплопровідності з граничними умовами, що описуються функцією Хевісайда.

У системах цифрової оптичної комунікації, ймовірність помилки на біт також виражається формулою, що використовує функцію помилок.

Асимптотичний розклад[ред.ред. код]

При великих корисно асимптотичний розклад для додаткової функції помилок:

Хоча для будь-якого скінченного цей ряд є розбіжним, на практиці перших декількох членів достатньо для обчислення з хорошою точністю, тоді як ряд Тейлора сходиться дуже поволі.

Інше наближення дається формулою

де

Споріднені функції[ред.ред. код]

З точністю до масштабу і зсуву, функція помилок збігається з функцією розподілу ймовірностей нормального розподілу, що позначається

Зворотна функція до , відома як нормальна квантильна функція, іноді позначається і виражається через нормальну функцію помилок як

Нормальний інтегральний розподіл частіше застосовується в теорії ймовірності і математичній статистиці, тоді як функція помилок частіше застосовується в інших розділах математики.

Функція помилок є окремим випадком функції Міттаг-Лефлера, а також може бути представлена як вироджена гіпергеометрична функція (функція Куммера):

Функція помилок виражається також через інтеграл Френеля. У термінах регуляризованої неповної гамма-функції P і неповної гамма-функції

Узагальнені функції помилок[ред.ред. код]

Графік узагальнених функцій помилок :
сіра лінія:
червона лінія:
зелена лінія:
синя лінія:
жовта лінія: .

Також можна розглянути загальніші функції:

Окремими вартими уваги випадками є:

  • — пряма лінія, що проходить через початок координат:
  • - функція помилок .

Після ділення на всі з непарними виглядають схоже (але не ідентично). Всі з парними теж виглядають схоже, але не ідентично, після ділення на . Всі узагальнені функції помилок з виглядають схоже на напівосі .

На напівосі всі узагальнені функції можуть бути виражені через гамма-функцію:

Отже, ми можемо виразити функцію помилок через гамма-функцію:

Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок[ред.ред. код]

Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок визначаються як

Їх можна розкласти в ряд:

звідки випливають властивості симетрії

і

Література[ред.ред. код]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.