Коефіцієнт ексцесу

Графік щільності розподілу Пірсона VII типу; нескінченний ексцес (червона), 2 (синя), та 0 (чорна) криві.

Коефіцієнт ексцесу (англ. kurtosis) — числова характеристика розподілу ймовірностей дійсної випадкової величини. Коефіцієнт ексцесу характеризує «крутість», тобто, стрімкість підвищення кривої розподілу у порівнянні з нормальною кривою.

Визначення

Ексцесом $\gamma _{2}$ (за Фішером) теоретичного розподілу називають характеристику, що обчислюється за такою формулою:

$\gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3$,

де $\mu _{4}$ — центральний момент четвертого порядку, $\sigma ^{2}$ — дисперсія.

Оцінка ексцесу

Оцінка ексцесу (за Фішером) $\gamma _{2}$ дорівнює:

$g_{2}={\frac {k_{4}}{k_{2}^{2}}},$

де $k$ є k-статистиками.

Дисперсія оцінки для нормального розподілу дорівнює:

$\mathrm {var} (g_{2})\approx {\frac {24}{N}}.$

Коефіцієнт ексцесу Пірсона

Коефіцієнт ексцесу Пірсона $\beta _{2}$ (англ. Pearson Kurtosis) дорівнює:

$\beta _{2}\equiv {\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}.$

Властивості

Для нормального розподілу $(\mu _{4}/\sigma ^{4})=3$; із чого випливає, що ексцес нормального розподілу дорівнює нулю. Якщо ексцес деякого розподілу відмінний від нуля, то крива щільності цього розподілу відрізняється від кривої щільності нормального розподілу: якщо ексцес додатній, то крива теоретичного має вищу та «гострішу» вершину ніж крива нормального; якщо ексцес від'ємний, то крива теоретичного має нижчу та «плоскішу» вершину ніж крива нормального. При цьому вважається, що нормальний і теоретичний розподіли мають однакові математичні сподівання та дисперсії.

Див. також

• Коефіцієнт асиметрії

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)