Теорема Лебега про мажоровану збіжність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Лебе́га про мажоро́вану збі́жність — теорема у функціональному аналізі, теорії ймовірностей і суміжних дисциплінах, що визначає достатні умови рівності границі інтегралів Лебега від збіжної послідовності функцій і інтеграла Лебега від граничної функції цієї послідовності. Твердження не має аналогу для інтеграла Рімана і є однією із значних теоретичних переваг інтеграла Лебега.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай вимірні функції на просторі з мірою , що приймають значення в чи і задовольняють умови :

  • Послідовність функцій поточково збігається до функції на всій множині .
  • Існує функція така що :

Тоді і

при чому виконується :

Доведення[ред.ред. код]

Доведемо, що  :

оскільки є границею вимірних функцій, вона є вимірною. Також оскільки для усіх виконується , то здійснивши граничний перехід одержуємо, звідки .


Використавши і застосувавши лему Фату,

Оскільки то,

звідки

скориставшись цією властивістю можна завершити доведення :


Зауваження[ред.ред. код]

  • Умова мажорованості послідовності інтегрованою функцією не може бути опущена, як показує наступний контрприклад. Нехай , де - борелівська -алгебра на , а - міра Лебега на тому ж просторі. Визначимо
Тоді послідовність не може бути мажорована інтегрованою функцією, і
  • В твердженні теореми достатньо вимагати збіжності майже всюди і виконання нерівностей майже всюди.
Справді якщо позначити і — множина на якій послідовність не збігається до f, то для всіх . Позначивши маємо і перевизначивши на маємо, що задовольняють всі умови теореми і їх інтеграли не змінюються оскільки перевизначення відбулося на множині міри нуль.

Застосування до теорії ймовірностей[ред.ред. код]

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій , вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай задана послідовність випадкових величин, що сходиться майже напевно: майже напевно. Нехай додатково існує інтегровна випадкова величина , така що майже напевно. Тоді випадкові величини інтегровні і

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]