Інтеграл Рімана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Інтеграл Рімана функції f(x) по відрізку [ab] дорівнює сумі площ фігур між графіком функції f(x), віссю Ox і прямими {x=a} та {x=b}, в якій доданки, що відповідають фігурам в нижній півплощині, беруться зі знаком «−»

Інтегра́л Рі́мана — одне з найважливіших понять математичного аналізу, є узагальненням поняття суми, яке знаходить широке застосування в багатьох галузях математики. Був уведений Бернгардом Ріманом в 1854 році, і є одною з перших формалізації поняття інтегралу.

Геометрична інтерпретація[ред.ред. код]

Ріман формалізував поняття інтегралу, розроблене Ньютоном та Лейбніцем, як площу фігури, яка обмежена графіком функції та віссю абсцис. Для цього він розглянув ступінчасті фігури, які складаються з великої кількості вертикальних прямокутників, отриманих при розбитті відрізка інтегрування (див. Рис.).

Нехай функція f : [a, b]→R є неперервною і невід'ємною на відрізку [a, b]. Фігура, обмежена графіком цієї функції, відрізком [a, b] і прямими {x = a} та {x = b}, називається криволінійною трапецією. Обчислимо наближено площу цієї трапеції.

  1. Розіб'ємо відрізок [a, b] на n відрізків (n ≥ 1): a = x0 < x1 < x2 < … < xk < xk+1 < … < xn−1 < xn = b. Множина точок {x0, x1,…, xn} називається розбиттям відрізку інтегрування і позначається як λ або λ([a, b]).
  2. На кожному відрізку розбиття [xk, xk+1] довільно оберемо по одній точці ck (k = 0, 1,…, n − 1) і побудуємо вертикальні прямокутники Πk = [xkxk+1] × [0, f(ck)].
  3. Смугу криволінійної трапеції з основою [xk, xk+1] замінимо прямокутником Πk.

В результаті отримаємо ступінчасту фігуру, складену з прямокутників (див. Рис.).

Очевидно, що чим менші відрізки [xk, xk+1] розбиття, тим більше ступінчаста фігура наближається до криволінійної трапеції.

Зауваження. Якщо для розбиття λ довжини усіх відрізків однакові (тобто Δxk := xk+1xk = Δx =: (b − a) / n для всіх k = 0,…, n − 1), то таке розбиття називається рівномірним.
Означення. Діаметром (розміром, дрібністю) розбиття λ = {x0, x1,…, xn} називається число |λ| = max {Δxk, 0 ≤ kn − 1}.
Означення. Величина
S(f, \, \lambda, \, \{c_i|\lambda\})=\sum_{k=1}^{n} f(c_{k}) \Delta x_{k},

називається інтегральною сумою для функції f та точок {ci | λ}, які відповідають розбиттю λ.

Інтегральна сума дорівнює площі ступінчастої фігури, і її природно вважати наближеним значенням площі криволінійної трапеції. А за площу криволінійної трапеції природно прийняти границю чисел S(f, λ, {ci | λ}), коли |λ| → 0:

 S = \lim_{|\lambda| \rightarrow 0} S(f, \, \lambda, \, \{c_i|\lambda\}) = \lim_{|\lambda| \rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} f(c_{k}) \Delta x_{k}.

До обчислення границь такого типу приводять багато задач, наприклад, обчислення довжини пройденого шляху при прямолінійному русі за відомою швидкістю v(t) протягом часу від моменту t1 до t2.

Означення інтеграла Рімана[ред.ред. код]

Чим дрібніший діаметр розбиття λ, тим ближче значення інтегральної суми до значення інтеграла Рімана
Означення (інтеграла Рімана). Нехай функція f : [ab] → R (a < b) та
  • для довільного розбиття λ відрізка [a, b] та відповідного йому набору точок {ci | λ} існує скінченна границя інтегральних сум S(f, λ, {ci | λ}) при |λ| → 0,
  • границя інтегральних сум S(f, λ, {ci | λ}) не залежить від розбиття λ і вибору точок ci.

Тоді таку границю називають інтегралом Рімана функції f по відрізку [ab] і позначають символом

\int_{a}^{b} f(x)\, dx.

У цьому випадку функція f(x) називається інтегровною (за Ріманом) на [ab]; в протилежному випадку f(x) є неінтегровною (за Ріманом) на відрізку [ab].

Термінологія. Функція f називається підінтегральною функцією, f(x)dx — підінтегральним виразом, x — змінною інтегрування, числа a та b — нижньою та верхньою межами інтегрування відповідно.
Позначення. Множину інтегровних за Ріманом функцій на відрізку [ab] позначають R([ab]).

Необхідною умовою інтегровності функції за Ріманом є її обмеженість: якщо функція f(x) необмежена на відрізку [ab], то границя інтегральних сум для цієї функції буде рівна ∞.

Властивості інтеграла Рімана[ред.ред. код]

Властивості, пов'язані з проміжками інтегрування[ред.ред. код]

  • Орієнтовність інтеграла: має місце поняття інтеграла Рімана по відрізку «в зворотньому напрямку», а саме для a > b вважаємо, що
 \int_a^b f(x) \, dx := - \int_b^a f(x) \, dx;
  • Інтеграл по відрізку нульової довжини: має місце поняття інтеграла Рімана по відрізку нульової довжини, а саме для довільного aR вважаємо, що
\int_{a}^{a} f(x)\, dx := 0;
  • Інтегровність на меншому відрізку: якщо fR([ab]), то fR([cd]) для довільного відрізку [cd] ⊂ [ab];
  • Адитивність: якщо fR([ab]) ∩ R([bc]) (a < b < c), то fR([ac]) і
\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx;

Властивості зі знаком рівності[ред.ред. код]

В цьому підрозділі вважаємо, що {a, b} ⊂ R — довільні.

  • Невиродженість: для всіх {a, b} ⊂ R має місце рівність
\int_{a}^{b}1\, dx = b - a;
  • Лінійність: якщо {f, g} ⊂ R([ab]), то для довільних {α, β} ⊂ R([ab]) функція αf + βgR([ab]) та
\int_{a}^{b}(\alpha f(x) + \beta g(x))\, dx = \alpha \int_{a}^{b}f(x)\, dx + \beta \int_{a}^{b}g(x)\, dx.
  • Граничний перехід під знаком інтеграла Рімана: якщо fiR([ab]) рівномірно збігаються на [ab] до функції f, то fR([ab]) та
\lim_{i\to\infty} \int_a^b f_i(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx

Нерівності[ред.ред. код]

В цьому підрозділі вважаємо, що a < b.

  • Невід'ємність: якщо fR([ab]) та невід'ємна на [ab], то
 \int_{a}^{b} f(x)\, dx \ge 0;
  • Нерівність інтегралів: якщо {f, g} ⊂ R([ab]) та f(x) ≤ g(x) для всіх x ∈ [ab], то
\int_{a}^{b}f(x)\, dx \leq \int_{a}^{b}g(x)\, dx;
  • Оцінка модуля інтеграла: якщо fR([ab]), то |f| ∈ R([ab]) та
\left|\int_{a}^{b}f(x)\,dx \right|\leq \int_{a}^{b}|f(x)| \, dx.

Інтегровність за Ріманом функцій[ред.ред. код]

В цьому розділі наведено твердження, які дозволяють визначити, чи є функція інтегровна за Ріманом.

Критерій Дарбу інтегровності функції[ред.ред. код]

Докладніше у статті Критерій Дарбу
Суми Дарбу для рівномірного розбиття λ: нижня (зліва) та верхня (справа)

Нижня та верхня суми Дарбу́ для функції f(x) та розбиття λ — це інтегральні суми, в яких відповідні точки {ci | λ} обираються як точні нижня та верхня межі функції f(x) відповідно.

Означення. Інтегральна сума для розбиття λ, для якої відповідні точки {ci | λ} вибираються з умови ci = inf[xi, xi+1] f(x), називається нижньою сумою Дарбу для функції f та розбиття λ і позначається одним із символів L(f, λ) (від англ. lower — «нижній») або s(f, λ).
Означення. Інтегральна сума для розбиття λ, для якої відповідні точки {ci | λ} вибираються з умови ci = sup[xi, xi+1] f(x), називається верхньою сумою Дарбу для функції f та розбиття λ і позначається одним із символів U(f, λ) (від англ. upper — «верхній») або S(f, λ).

За допомогою верхньої та нижньої сум Дарбу можна дати критерій інтегровності функції за Ріманом.

Теорема. Нехай f : [ab] → R — обмежена функція. Функція fR([ab]) тоді і лише тоді, коли

\lim_{|\lambda|\to 0} (S(f, \, \lambda) - s(f, \, \lambda)) = 0.

Класи інтегровних за Ріманом функцій[ред.ред. код]

Теорема (про інтегровність неперервної функції). C([ab]) ⊂ R([ab]), тобто кожна неперервна на відрізку [ab] функція є інтегровною за Ріманом на цьому відрізку.
Теорема (про інтегровність монотонної функції). Кожна монотонна на відрізку [ab] функція є інтегровною за Ріманом на цьому відрізку.
Теорема (про інтегровність функції зі скінченною кількістю точок розриву). Нехай f : [ab] → R задовольняє умовам
  1. функція f(x) обмежена на [ab];
  2. fC([ab] \ {z1z2,…, zn}).

Тоді fR([ab]).

Приклад (неінтегровної обмеженої функції). Покажемо, що функція Діріхле
 D(x) := \begin{cases} 1, & x\in\Q \\ 0, & x\in\R \setminus\Q \end{cases}

не інтегровна на довільному відрізку [a, b] ⊂ R. Тут Q — це множина раціональних чисел, а R — множина дійсних чисел.

На довільному відрізку [α, β] ⊂ R знайдуться як раціональна, так і ірраціональна точки. Тому при довільному розбитті λ відрізка [a, b] маємо


s(f, \, \lambda) = 0, \qquad S(f, \, \lambda) = b - a,

звідки у відповідності з критерієм Дарбу інтегровності функції DR([a, b]).

Методи обчислення інтегралів Рімана[ред.ред. код]

Теорема. Припустимо, що функція f задовольняє умовам
  1. fR([ab]);
  2. f має первісну F на [ab].

Тоді справедлива формула Ньютона—Лейбніца:

 \int_{a} ^{b} f(x)\, dx = F(x) \Bigr|_{x=a}^b := F(b)-F(a),

З формулою Ньютона—Лейбніца обчислення інтеграла Рімана зводиться до знаходження первісної для підінтегральної функції (див. методи знаходження первісної). Проте нею слід користуватися обережно, спочатку переконавшись у тому, чи задовільняє підінтегральна функція обом умовам теореми.

Приклад. Розглянемо інтеграл \int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}. «Первісна» підінтегральної функції дорівнює F(x) = −1/x. Тоді згідно з формулою Ньютона—Лейбніца шуканий інтеграл дорівнює F(1) − F(−1) = −2 < 0, що суперечить властивості невід'ємності інтеграла Рімана, оскільки f(x) = 1/x² > 0.

У наведеному «обчисленні» інтеграла допущено дві помилки:

  1. даний інтеграл не існує, оскільки підінтегральна функція необмежена на відрізку [-1, 1];
  2. функція f(x) розривна в точці x = 0, яка належить відрізку інтегрування, тому вона не має первісної на цьому відрізку.

Обчислення інтеграла Рімана за означенням[ред.ред. код]

Безпосереднє обчислення визначеного інтеграла, виходячи з його означення (як границя інтегральних сум) зазвичай досить громіздке, однак все ж таки можливе.

Приклад. Обчислимо інтеграл
 \int_{a} ^{b} \sin x\, dx.

Покладемо f(x) = sin x, x ∈ [a, b]. Оскільки fC([a, b]), то fR([a, b]), тому для обчислення інтегралу досить знайти границю довільної послідовності інтегральних сум. Розглянемо рівномірне розбиття λn відрізку [a, b] на n рівних частин, Δx = (ba) / n, і запишемо інтегральну суму

  \begin{align} S(f, \, \lambda_n, \, \{c_i|\lambda_n\}) & = \Delta x \sum_{k=1}^{n} \sin (a+k\Delta x) =
\\
& = \frac{\Delta x}{2\sin \frac{\Delta x}{2} } \sum_{k=1}^{n} 2\sin (a+k\Delta x) \sin \frac{\Delta x}{2} = 
\\
& = \frac{\Delta x}{2\sin \frac{\Delta x}{2} } \sum_{k=1}^{n} \Big(\cos (a+k\Delta x-\frac{1}{2}\Delta x) - \cos (a+kh+\frac{1}{2}\Delta x)\Big) = 
\\
& =  \frac{\Delta x}{2\sin \frac{\Delta x}{2}} \Big(\cos (a+\frac{1}{2}\Delta x) - \cos (b+\frac{1}{2}\Delta x)\Big).   \end{align}

Спрямувавши |λn| до нуля, отримаємо, що

\begin{align}
 \int_{a} ^{b} \sin x\, dx & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{2\sin \frac{\Delta x}{2}} \Big(\cos(a+ \frac{1}{2}\Delta x) - \cos (b+ \frac{1}{2}\Delta x)\Big) =
\\
& = \cos b - \cos a. \end{align}
Приклад. Обчислимо інтеграл
 \int_{0} ^{1} e^x\, dx.

Покладемо f(x) = ex, x ∈ [0, 1]. Оскільки fC([0, 1]), то fR([a, b]). Отже, у відповідності з критерієм Дарбу інтегровності функцій

 \int_0^1 f(x) \, dx = \lim_{|\lambda_n| \rightarrow 0} s(f; \lambda_n),

де λn — рівномірне розбиття відрізка [0, 1] на n рівних частин. Отже, маємо

 \begin{align}
 s(f; \, \lambda_n) & = \sum_{i=0}^{n-1} e^\frac{i}{n} \cdot \frac{1}{n} = 
\\
& = \frac{e-1}{e^\frac{1}{n}-1} \cdot \frac{1}{n},\end{align}

звідки випливає, що

 \begin{align}
\int_0^1 f(x) \, dx & = \lim_{n \rightarrow \infty}  \frac{e-1}{e^\frac{1}{n}-1} \cdot \frac{1}{n} =
\\
& = e-1.
\end{align}

Інтеграл Рімана як функція верхньої межі інтегрування[ред.ред. код]

Означення[ред.ред. код]

Припустимо, що fR([ab]) (отже, fR([ax]) для довільного x ∈ [ab]). Покладемо

 \varphi(x):= \int_a^x f(u) \, du, \quad x \in [a,b].

Вочевидь, φ(а) = 0.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо fR([ab]), то φС([ab]).
  • Якщо fC([ab]), то φС1([ab]), причому для довільного x ∈ [ab]: φ'(x) = f(x).
  • Якщо fC([ab]), то f має первісну на [ab]. Первісними для f на [a, b] будуть функції вигляду φ(x) + c, c ∈ ℝ.

Формула Лейбніца[ред.ред. код]

Теорема. Нехай
  1. f : ℝ → ℝ iнтегровна за Рiманом по кожному вiдрiзку;
  2. f має первiсну на ℝ;
  3. функцiї a, b : ℝ → ℝ диференцiйовнi на ℝ.

Тодi

  \frac{d}{dx} \int_{a(x)} ^{b(x)} f(u) \, du = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x),\quad  x\in\R.

Історія[ред.ред. код]

Таке означення інтеграла дано Коші[1], але воно застосовувалося лише до неперервних функцій.

Ріман в 1854 році[2], дав це ж означення без припущення неперервності.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831
  2. Riemann В., «Göttinger Akad. Abhandl.», 1868, Bd 13

Література[ред.ред. код]