Дуальні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дуальні числа або комплексні числа параболічного типу — гіперкомплексні числа виду a+\varepsilon b, де  a і  b  — дійсні числа, і \varepsilon^2=0. Будь-яке дуальне число однозначно визначається такий парою чисел  a і  b . Множина всіх дуальних чисел утворює двовимірну комутативну асоціативну алгебру з одиницею над полем дійсних чисел \mathbb{R}. На відміну від поля комплексних чисел, ця алгебра містить дільники нуля, причому всі вони мають вигляд a\varepsilon. Площина всіх дуальних чисел являє собою «альтернативну комплексну площину». Аналогічним чином будуються алгебри комплексних та подвійних чисел.

Зауваження. Іноді дуальні числа називають подвійними числами [1], хоча зазвичай під подвійними числами розуміється інша система гіперкомплексних чисел.

Визначення[ред.ред. код]

Алгебраїчне визначення[ред.ред. код]

Дуальні числа — це пари дійсних чисел виду (a,\;b), для яких визначені операції множення і додавання за правилами:

\ (a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2)
\ (a_1,\;b_1) * (a_2,\;b_2) = (a_1 a_2,\;a_1 b_2 + a_2 b_1)

Числа виду (a,\;0) ототожнюються при цьому з дійсними числами, а число (0,\;1) позначається \varepsilon, після чого визначаючі тотожності приймають вигляд:

\varepsilon^2=0,\quad(a,\;b)=a+b\varepsilon
(a_1+\varepsilon b_1)+(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1+a_2)+\varepsilon (b_1+b_2),
(a_1+\varepsilon b_1)(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1a_2)+\varepsilon (a_1b_2+a_2b_1).

Лінійне представлення[ред.ред. код]

Дуальні числа можна представити як матриці з дійсних чисел, при цьому додаванню дуальних чисел відповідає додавання матриць, а множенню чисел — множення матриць. Покладемо \varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}. Тоді довільне дуальне число набуде вигляду

a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}.

Показникова форма[ред.ред. код]

Для експоненти з дуальним показником вірною є наступна рівність:

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x

Дана формула дозволяє представити будь-який дуальне число в показниковій формі і знайти його логарифм по дійсній основі. Вона може бути доведена розкладанням експоненти в ряд Тейлора:

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \cdots

При цьому всі члени вище першого порядку дорівнюють нулю.

Корені[ред.ред. код]

Корінь n-го ступеня з числа виду a+\varepsilon b визначається як:

\sqrt[n]{a}+\frac{\varepsilon b} {n \sqrt[n]{a^{n-1}}}

Диференціювання[ред.ред. код]

Дуальні числа дозволяють автоматично проводити диференціювання функцій. Розглянемо для початку дійсний многочлен виду P(x) = p_0+p_1 x+p_2 x^2 + \ldots + p_n x^n. Природно продовжити його область визначення з дійсних чисел на дуальні числа. Нескладно переконатися, що при цьому P(a+b \varepsilon) = P(a)+b P'(a) \varepsilon — похідна многочлена  P по  x . Після цього є природним продовжити область визначення всіх трансцендентних функцій на площину дуальних чисел за правилом f(a+b \varepsilon) =f(a)+b f'(a) \varepsilon, де  f'  — похідна функції  f . Таким чином, виконуючи обчислення не над дійсними, а над дуальним числами, можна автоматично отримувати значення похідної функції в точці. Особливо зручно розглядати таким чином композиції функцій.

Можна провести аналогію між дуальним числами і нестандартним аналізом. Уявна одиниця ε кільця дуальних чисел багато в чому подібна до нескінченно малого числа з нестандартного аналізу: будь-який степінь (вище першого) \varepsilon у точності дорівнює 0, у той час як будь-який степінь нескінченно малого числа приблизно дорівнює 0 (є нескінченно малою більш високого порядку). Значить, якщо \delta — нескінченно мале число, то з точністю до O(\delta^2) гіпердійсні числа ізоморфні дуальним.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Дж. Хамфри Линейные алгебраические группы. — М.: Наука, 1980. — см. стр. 121

Література[ред.ред. код]

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність