Дуальні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дуальні числа (комплексні числа параболічного типу) — гіперкомплексні числа виду , де  — дійсні числа; уявна одиниця, така що .

Множина всіх дуальних чисел утворює двовимірну комутативну асоціативну алгебру з одиницею над полем дійсних чисел . На відміну від поля комплексних чисел, ця алгебра містить дільники нуля, причому всі вони мають вигляд .

Дуальні числа — одна із двовимірних гіперкомплексних систем поряд з комплексними та подвійними числами.

Визначення[ред.ред. код]

Алгебраїчне визначення[ред.ред. код]

Дуальні числа — це пари дійсних чисел виду , для яких визначені операції множення і додавання за правилами:

Числа виду ототожнюються при цьому з дійсними числами, а число позначається , після чого визначаючі тотожності приймають вигляд:

Матричне представлення[ред.ред. код]

Дуальні числа можна представити як матриці з дійсних чисел, при цьому додаванню дуальних чисел відповідає додавання матриць, а множенню чисел — множення матриць. Покладемо . Тоді довільне дуальне число набуде вигляду

.

Показникова форма[ред.ред. код]

Для експоненти з дуальним показником вірною є наступна рівність:

Дана формула дозволяє представити будь-який дуальне число в показниковій формі і знайти його логарифм по дійсній основі. Вона може бути доведена розкладанням експоненти в ряд Тейлора:

При цьому всі члени вище першого порядку дорівнюють нулю.

Корені[ред.ред. код]

Корінь n-го ступеня з числа виду визначається як:

Диференціювання[ред.ред. код]

Дуальні числа дозволяють проводити автоматичне диференціювання функцій. Розглянемо для початку дійсний многочлен виду . Природно продовжити його область визначення з дійсних чисел на дуальні числа. Нескладно переконатися, що при цьому  — похідна многочлена по . Після цього є природним продовжити область визначення всіх трансцендентних функцій на площину дуальних чисел за правилом , де  — похідна функції . Таким чином, виконуючи обчислення не над дійсними, а над дуальним числами, можна автоматично отримувати значення похідної функції в точці. Особливо зручно розглядати таким чином композиції функцій.

Можна провести аналогію між дуальним числами і нестандартним аналізом. Уявна одиниця ε кільця дуальних чисел багато в чому подібна до нескінченно малого числа з нестандартного аналізу: будь-який степінь (вище першого) у точності дорівнює 0, у той час як будь-який степінь нескінченно малого числа приблизно дорівнює 0 (є нескінченно малою більш високого порядку). Значить, якщо  — нескінченно мале число, то з точністю до гіпердійсні числа ізоморфні дуальним.

Література[ред.ред. код]

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Конструктивні числа[en] | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Рекурсивні числа[en] | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Супердійсні числа[en] | Гіпердійсні числа[en] | Сюрреальні числа[en] | Номінальні числа | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність