Дуальні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дуальні числа (комплексні числа параболічного типу) — гіперкомплексні числа виду a+\varepsilon b, де  a, b  — дійсні числа; \varepsilonуявна одиниця, така що \varepsilon^2=0.

Множина всіх дуальних чисел утворює двовимірну комутативну асоціативну алгебру з одиницею над полем дійсних чисел \R. На відміну від поля комплексних чисел, ця алгебра містить дільники нуля, причому всі вони мають вигляд a\varepsilon.

Дуальні числа — одна із двовимірних гіперкомплексних систем поряд з комплексними та подвійними числами.

Визначення[ред.ред. код]

Алгебраїчне визначення[ред.ред. код]

Дуальні числа — це пари дійсних чисел виду (a,\;b), для яких визначені операції множення і додавання за правилами:

\ (a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2)
\ (a_1,\;b_1) * (a_2,\;b_2) = (a_1 a_2,\;a_1 b_2 + a_2 b_1)

Числа виду (a,\;0) ототожнюються при цьому з дійсними числами, а число (0,\;1) позначається \varepsilon, після чого визначаючі тотожності приймають вигляд:

\varepsilon^2=0,\quad(a,\;b)=a+b\varepsilon
(a_1+\varepsilon b_1)+(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1+a_2)+\varepsilon (b_1+b_2),
(a_1+\varepsilon b_1)(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1a_2)+\varepsilon (a_1b_2+a_2b_1).

Матричне представлення[ред.ред. код]

Дуальні числа можна представити як матриці з дійсних чисел, при цьому додаванню дуальних чисел відповідає додавання матриць, а множенню чисел — множення матриць. Покладемо \varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}. Тоді довільне дуальне число набуде вигляду

a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}.

Показникова форма[ред.ред. код]

Для експоненти з дуальним показником вірною є наступна рівність:

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x

Дана формула дозволяє представити будь-який дуальне число в показниковій формі і знайти його логарифм по дійсній основі. Вона може бути доведена розкладанням експоненти в ряд Тейлора:

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \cdots

При цьому всі члени вище першого порядку дорівнюють нулю.

Корені[ред.ред. код]

Корінь n-го ступеня з числа виду a+\varepsilon b визначається як:

\sqrt[n]{a}+\frac{\varepsilon b} {n \sqrt[n]{a^{n-1}}}

Диференціювання[ред.ред. код]

Дуальні числа дозволяють проводити автоматичне диференціювання функцій. Розглянемо для початку дійсний многочлен виду P(x) = p_0+p_1 x+p_2 x^2 + \ldots + p_n x^n. Природно продовжити його область визначення з дійсних чисел на дуальні числа. Нескладно переконатися, що при цьому P(a+b \varepsilon) = P(a)+b P'(a) \varepsilon — похідна многочлена  P по  x . Після цього є природним продовжити область визначення всіх трансцендентних функцій на площину дуальних чисел за правилом f(a+b \varepsilon) =f(a)+b f'(a) \varepsilon, де  f'  — похідна функції  f . Таким чином, виконуючи обчислення не над дійсними, а над дуальним числами, можна автоматично отримувати значення похідної функції в точці. Особливо зручно розглядати таким чином композиції функцій.

Можна провести аналогію між дуальним числами і нестандартним аналізом. Уявна одиниця ε кільця дуальних чисел багато в чому подібна до нескінченно малого числа з нестандартного аналізу: будь-який степінь (вище першого) \varepsilon у точності дорівнює 0, у той час як будь-який степінь нескінченно малого числа приблизно дорівнює 0 (є нескінченно малою більш високого порядку). Значить, якщо \delta — нескінченно мале число, то з точністю до O(\delta^2) гіпердійсні числа ізоморфні дуальним.

Література[ред.ред. код]

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Конструктивні числа[en] | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Рекурсивні числа[en] | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Супердійсні числа[en] | Гіпердійсні числа[en] | Сюрреальні числа[en] | Номінальні числа | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність