Лінійне рівняння

Графічне зображення лінійних рівнянь.

Лінійне рівняння — рівняння, обидві частини якого визначають лінійними функціями. Найпростіший випадок має вигляд

$a\cdot x=b$

Числа а і b є коефіцієнтами лінійного рівняння: а — коефіцієнт при змінній, b — вільний член.

Отримали назву лінійних через те, що визначають лінію на площині або в просторі.

У загальному випадку лінійним рівнянням є рівняння, що має наступну форму:

$a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0,$

де $x_{1},\ldots ,x_{n}$ — змінні (невідомі або невизначені) рівняння, а $b,a_{1},\ldots ,a_{n}$ — коефіцієнти, що як правило є дійсними числами. Коефіцієнти можна розглядати як параметри рівняння, і можуть задаватися як довільні вирази, які не повинні мати ніяких змінних.

Розв'язком такого рівняння будуть такі значення, які можна підставити замість невідомих, так що рівність стане істиною.

Властивості лінійних рівнянь

• Якщо $a\neq 0$, рівняння має єдиний розв'язок:

$x={\frac {b}{a}}$

• Якщо тільки $a=0$, рівняння не має жодного кореня:

$x\cdot 0=b$

• Якщо ж і $a=0$ і $b=0$, рівняння має безліч коренів:

$x\cdot 0=0$

Спрощення рівняння до лінійного

Виконувати в такій послідовності:

1. Позбутися знаменників, якщо вони є.
2. Розділити рівняння на лінійні, якщо його подано у вигляді рівного нулеві добутку сум.
3. Розкрити дужки, якщо вони є. Якщо після цього утворилося багато членів у будь-якій його частині, то доцільно спочатку звести подібні доданки, а потім виконувати переноси.
4. Перенести члени зі змінними в ліву частину, а числа — в праву.
5. Звести подібні доданки.
6. Знайти корені.

Див. також

• Лінійна функція
• Лінійне диференційне рівняння
• Система лінійних алгебраїчних рівнянь