Нерівність Фрідріхса

Нерівність Фрідріхса — теорема функціонального аналізу, доведена Куртом Фрідріхсом. Воно задає обмеження для L^p-норми функції, за допомогою L^p норм слабких похідних цієї функції та геометрію області. Нерівність може бути використана, для доведення еквівалентності деяких норм на просторі Соболєва.

Нехай Ω — обмежена підмножина евклідового простору Rⁿ з діаметром d. Припустимо, що u : Ω → R належить простору Соболєва $W_{0}^{k,p}(\Omega )$ (тобто $u\in W^{k,p}(\Omega )$ і слід u на границі $\partial \Omega$ є рівним 0). Тоді

$\|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p},$

де

• $\|-\|_{L^{p}(\Omega )}$ позначає L^p-норму;
• α = (α₁, …, α_n) — мультиіндекс з нормою |α| = α₁ + … + α_n;
• D^αu — змішана часткова похідна

$\mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.$

Близьким результатом є нерівність Пуанкаре.

Випадок однієї змінної

Якщо функція $u$ є диференційовною на відрізку $[a,b]$, $u(a)=0$ і її похідна є інтегровною у квадраті на цьому відрізку, тоді:

$\int \limits _{a}^{b}u^{2}(x)dx\leqslant {\frac {(b-a)^{2}}{2}}\int \limits _{a}^{b}\left({du \over dx}\right)^{2}dx.$

Дана нерівність є сильнішою, ніж у загальній версії оскільки замість константи $d^{2}$, яка у цьому випадку є рівною $(b-a)^{2}$ використовується ${\frac {(b-a)^{2}}{2}}.$

Для доведення цього варіанту нерівності, згідно із фундаментальною теоремою аналізу можна записати (із відповідною зміною позначень незалежної змінної) $u(x)=\int _{a}^{b}{du \over dt}dt.$ Тоді враховуючи інтегральну версію нерівності Коші — Буняковського одержуються нерівності:

$u^{2}(x)=\left(\int _{a}^{x}{du \over dt}dt\right)^{2}\leqslant \int _{a}^{x}\left({du \over dt}\right)^{2}dt\cdot \int _{a}^{x}1dt\leqslant (x-a)\int \limits _{a}^{b}\left({du \over dt}\right)^{2}dt.$

Інтегруючи крайній лівий і правий члени нерівності на інтервалі $[a,b]$ одержується одновимірний варіант нерівності Фрідріхса.