Символи Крістофеля (позначаються
) — це коефіцієнти компенсаційного доданка, який зменшує вплив викривлення системи координат на диференціювання векторів та тензорів. Існує також альтернативна назва для символів Крістофеля — коефіцієнти афінної зв'язності.
Символи Крістофеля не є тензором, бо не підкоряються тензорному правилу переходу в іншу систему координат.
Розглянемо
-вимірний многовид, вміщений в
-вимірний евклідовий простір (
). Точки евклідового простору будемо зображати радіус-вектором
, який в прямокутних декартових координатах має вигляд:
![{\displaystyle (1)\qquad \mathbf {r} =\left\{x^{1},x^{2},\dots ,x^{N}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a066433822c19a01924859028f27bfa241ef62)
Многовид в цьому просторі задається параметрично вектор-функцією:
![{\displaystyle (2)\qquad \mathbf {r} =\mathbf {r} (u^{1},u^{2},\dots u^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90876971c11136fffd8b024a4802b9e9ed8cc08)
Параметри
є координатами на многовиді. Часткові похідні радіус-вектора по цих координатах будуть дотичними векторами до многовиду і утворюють базис в дотичному афінному підпросторі[en] евклідового простору.
![{\displaystyle (3)\qquad \mathbf {r} _{i}={\partial \mathbf {r} \over \partial u^{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53af2f3e1e6cd70099d61fa018fd04833cd34e9c)
Розглянемо другу похідну
радіус-вектора многовида по параметрах. Це є вектор, який можна розкласти на два вектори — дотичний до многовиду
і перпендикулярний
:
![{\displaystyle (4)\qquad \mathbf {r} _{ij}={\partial ^{2}\mathbf {r} \over \partial u^{i}\partial u^{j}}=\mathbf {a} _{ij}+\mathbf {b} _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa938b247400fe0b8acc9a289458ecd666b74ba)
Дотичний вектор можна розкласти за базисом
:
![{\displaystyle (5)\qquad \mathbf {a} _{ij}=\Gamma _{ij}^{k}\mathbf {r} _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f65efee8f5570e780b08ad02be37f381466493a)
Коефіцієнти розкладу (числа
) вивчав німецький математик Елвін Бруно Крістофель[en], тому вони називаються символами Крістофеля.
Ми можемо формули (4) і (5) зібрати в одну формулу:
![{\displaystyle (6)\qquad \mathbf {r} _{ij}=\Gamma _{ij}^{s}\mathbf {r} _{s}+\mathbf {b} _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f0c325cd7c164f9d4ee05f0f9f27e3b5507b71)
Помножимо рівність (6) скалярно на базисний вектор
, і врахуємо ортогональність вектора
:
![{\displaystyle (7)\qquad (\mathbf {r} _{ij}\cdot \mathbf {r} _{k})=\Gamma _{ij}^{s}(\mathbf {r} _{s}\cdot \mathbf {r} _{k})=g_{ks}\Gamma _{ij}^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02bfce7737ac28e96c25ae74cae0e31fd731624f)
в останньому виразі ми використали позначення метричного тензора
, який виражається через скалярні добутки базисних векторів.
Одержані в правій частині цієї рівності величини називаються символами Крістофеля першого роду, і позначаються тією ж великою літерою «гамма», але з опущеним індексом (і відокремленим комою, щоб підкреслити його особливість у порівнянні з двома іншими індексами):
![{\displaystyle (8)\qquad \Gamma _{ij,k}=g_{ks}\Gamma _{ij}^{s}=(\mathbf {r} _{ij}\cdot \mathbf {r} _{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9366b477f640a87aa33926db0795eb4e8ccc25e8)
Ми можемо також навпаки, виразити звичайні символи Крістофеля (які називаються аналогічно символами Крістофеля другого роду) через символи Крістофеля першого роду, домноживши (8) на обернений метричний тензор
:
![{\displaystyle (9)\qquad \Gamma _{ij}^{p}=\delta _{s}^{p}\Gamma _{ij}^{s}=g^{pk}g_{ks}\Gamma _{ij}^{s}=g^{pk}\Gamma _{ij,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5785c7d3ca20419b9fd593c17c7faff79b802cd2)
Внаслідок теореми про рівність змішаних похідних
і з рівності (8) ми одержуємо, що символи Крістофеля першого роду симетричні по перших двох індексах:
![{\displaystyle (10)\qquad \Gamma _{ij,k}=\Gamma _{ji,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e72a2a7f39e1891c66e0e33f4096860dd494c7)
Те саме стосується символів Крістофеля з верхнім індексом внаслідок (9), дійсно:
![{\displaystyle (11)\qquad \Gamma _{ji}^{p}=g^{pk}\Gamma _{ji,k}=g^{pk}\Gamma _{ij,k}=\Gamma _{ij}^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157110c69886c645547d2839300c95250fa13f10)
Візьмемо частинну похідну від компоненти метричного тензора (яка, як відомо, дорівнює скалярному добутку базисних векторів):
![{\displaystyle (12)\qquad {\partial g_{ij} \over \partial u^{k}}={\partial \over \partial u^{k}}(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})=(\mathbf {r} _{ki}\cdot \mathbf {r} _{j})+(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{kj})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6d2941c900c122276332a5b03a4eae4ec2bc4e)
Для спрощення запису подальших формул, введемо наступне позначення оператора частинної похідної:
![{\displaystyle (13)\qquad \partial _{k}={\partial \over \partial u^{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4131032cf3111391428f8e574a1995932ad4ee4b)
Тоді з формул (12) і (8) маємо формулу, яка виражає похідні метричного тензора через символи Крістофеля першого роду:
![{\displaystyle (14)\qquad \partial _{k}g_{ij}=\Gamma _{ki,j}+\Gamma _{kj,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e65f6b2f29f6afa3a04fc83dcff621b6f5ff17d9)
Можна також і навпаки, виразити символи Крістофеля через похідні метричного тензора. Для цього з формули (14) утворимо ще дві еквівалентні формули, циклічно переставляючи індекси
:
![{\displaystyle (14a)\qquad \partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij,k}+\Gamma _{ik,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151e3c2e89cd31e2250deb4c0f420b5e991854fe)
![{\displaystyle (14b)\qquad \partial _{j}g_{ki}=\Gamma _{jk,i}+\Gamma _{ji,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a037ca5dbd118f8e9df4fc3c04b431ae1305f89)
Якщо додати дві останні формули і від суми відняти (14), одержимо з врахуванням симетрії символів Крістофеля:
![{\displaystyle (15)\qquad \partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}=2\Gamma _{ij,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b9f137cffbf18ddad5655d5755b6fb423bbdda)
звідки одержуємо формули для символів Крістофеля:
![{\displaystyle (17)\qquad \Gamma _{ij,k}={1 \over 2}\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c3f9e3d71bdf0a95388c4a297cb48140df48a32)
![{\displaystyle (18)\qquad \Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}\,g^{sk}\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66afea9fe0ff9a68971887a390b8bc7caa1e4fa)
Ми бачимо, що символи Крістофеля залежать тільки від метричного тензора, а тому є поняттям внутрішньої геометрії многовиду і системи координат у многовиді.
Із формули (18) можна обчислити згортки символів Крістофеля:
![{\displaystyle (19)\qquad \Gamma _{is}^{s}={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}{\sqrt {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eebb87c5ee2349bf69a57d1031ca9da6adea13c)
![{\displaystyle (20)\qquad g^{ij}\Gamma _{ij}^{s}=-{1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}\left({\sqrt {g}}g^{is}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8bc9d5857322b0cd718114c7a87aea19d92fe43)
де буквою без індексів
позначено визначник матриці метричного тензора
. Вивід цих формул дивіться тут.
Нехай на многовиді окрім параметрів
задано також інший набір параметрів
, які задають іншу систему координат.
Введемо такі позначення для (взаємно обернених) матриць переходу між цими системами координат:
![{\displaystyle (21)\qquad \alpha _{j}^{i}={\partial {\hat {u}}^{i} \over \partial u^{j}};\qquad \beta _{j}^{i}={\partial u^{i} \over \partial {\hat {u}}^{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33dca25040b14f4b5444b90e667c869a3abd458)
Базисні вектори в новій системі координат виражаються через старий базис за тензорним законом:
![{\displaystyle (22)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{i}={\partial \mathbf {r} \over \partial {\hat {u}}^{i}}={\partial u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}}{\partial \mathbf {r} \over \partial u^{k}}=\beta _{i}^{k}\mathbf {r} _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2a169f0bb715d4c91726592f69706197d64d67)
Знайдемо, як виглядатиме формула (6) в новій системі координат. Спершу обчислюємо другу похідну:
![{\displaystyle (23)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}={\partial \over \partial {\hat {u}}^{i}}{\partial \mathbf {r} \over \partial {\hat {u}}^{j}}={\partial \over \partial {\hat {u}}^{i}}\left(\beta _{j}^{k}\mathbf {r} _{k}\right)=\left({\partial \over \partial {\hat {u}}^{i}}\beta _{j}^{k}\right)\mathbf {r} _{k}+\beta _{j}^{k}{\partial \over \partial {\hat {u}}^{i}}\mathbf {r} _{k}={\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}\mathbf {r} _{k}+\beta _{j}^{k}\beta _{i}^{l}\mathbf {r} _{kl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58936b6e0ea5d042aa2a27b8d24ee61cc7e68499)
В останньому доданку розпишемо
за формулою (6):
![{\displaystyle (24)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}={\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}\mathbf {r} _{k}+\beta _{j}^{k}\beta _{i}^{l}\left(\Gamma _{kl}^{p}\mathbf {r} _{p}+\mathbf {b} _{kl}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd3d168c6453dd2fe5a0c4053289512eb860238f)
У формулі (24) зберемо докупи доданки з дотичними до многовиду векторами
, перейменувавши при потребі індекси за якими іде згортка, і окремо виділимо ортогональний доданок:
![{\displaystyle (25)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}=\left({\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}+\beta _{i}^{p}\beta _{j}^{q}\Gamma _{pq}^{k}\right)\mathbf {r} _{k}+\beta _{i}^{k}\beta _{j}^{l}\mathbf {b} _{kl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c03f0d8e95130c5e3ef89c142eb87c28e28eab2)
Запишемо для порівняння також формулу (6) у новій системі координат.
![{\displaystyle (26)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}={\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}{\hat {\mathbf {r} }}_{s}+{\hat {\mathbf {b} }}_{ij}={\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}\beta _{s}^{k}\mathbf {r} _{k}+{\hat {\mathbf {b} }}_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a698aedfb33e0f99225073bcef3cf6237e286f63)
Із формул (25) і (26) ми можемо зробити два висновки. По-перше, вектори повної кривини
при заміні координат змінюються за тензорним законом:
![{\displaystyle (27)\qquad {\hat {\mathbf {b} }}_{ij}=\beta _{i}^{k}\beta _{j}^{l}\mathbf {b} _{kl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d622236a716fd3b494865e5625cc5c4af2646c07)
А по-друге, символи Крістофеля змінюються за таким правилом:
![{\displaystyle (28)\qquad {\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}\beta _{s}^{k}={\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}+\beta _{i}^{p}\beta _{j}^{q}\Gamma _{pq}^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51cbf4f4b010d014f6c8b4435d054cc1fc93e3f1)
яке можна переписати, виразивши символи Крістофеля в новій системі координат:
![{\displaystyle (29)\qquad {\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}=\alpha _{k}^{s}\left({\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}+\beta _{i}^{p}\beta _{j}^{q}\Gamma _{pq}^{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d565b5d64d5203aba827ab0027be29141d7ff8f3)
Цей закон перетворення не тензорний, завдяки наявності доданка другої похідної. Як наслідок, для довільного многовида і окремо взятої точки на многовиді можна підібрати таку систему координат, що всі символи Крістофеля стануть нульовими.
Обчислення символів Крістофеля в евклідовому просторі
[ред. | ред. код]
Нехай нашим многовидом буде евклідовий простір (з нульовим тензором Рімана), в якому задана декартова система координат
і криволінійна система координат
. У декартових координатах всі символи Крістофеля
тотожно дорівнюють нулю. А для символів Крістофеля в криволінійній системі координат внаслідок (29) одержуємо наступну формулу:
![{\displaystyle (30)\qquad {\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}=\alpha _{k}^{s}{\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}=\alpha _{k}^{s}{\partial \over \partial {\hat {u}}^{i}}\beta _{j}^{k}={\partial \over \partial {\hat {u}}^{i}}\left(\alpha _{k}^{s}\beta _{j}^{k}\right)-\beta _{j}^{k}{\partial \over \partial {\hat {u}}^{i}}\alpha _{k}^{s}=-\beta _{j}^{k}\beta _{i}^{l}{\partial \over \partial u^{l}}\alpha _{k}^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677b9f611aa4a81b02639694d37ee971a13032a6)
або
![{\displaystyle (31)\qquad {\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}=-\beta _{j}^{k}\beta _{i}^{l}{\partial {\hat {u}}^{s} \over \partial u^{k}\partial u^{l}}=-{\partial u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{j}}{\partial u^{l} \over \partial {\hat {u}}^{i}}{\partial {\hat {u}}^{s} \over \partial u^{k}\partial u^{l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac48560d31855669b84d1073d63ae8ffbd46f0c)
При обчисленні формули (30) ми врахували взаємну оберненість матриць:
![{\displaystyle (32)\qquad \alpha _{k}^{s}\beta _{j}^{k}=\delta _{j}^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368ff451c0d4facc7846453fcad61e7601aab4f4)
і те, що похідна від константи
дорівнює нулю.