Загальна лінійна група: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
|||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
'''Загальна лінійна група''' — в [[математика|математиці]] [[група (алгебра)|група]] всіх [[ |
'''Загальна лінійна група''' — в [[математика|математиці]] [[група (алгебра)|група]] всіх [[оборотна матриця|оборотних квадратних матриць]] над деяким [[кільце (алгебра)|кільцем]]. |
||
== Формальне визначення == |
== Формальне визначення == |
||
Рядок 17: | Рядок 17: | ||
Якщо ''V'' — [[векторний простір]] над [[поле (алгебра)|полем]] F, то загальною лінійною групою лінійного простру <math>\operatorname{GL}(V)</math> або <math>\operatorname{Aut}(V)</math> називається група всіх [[автоморфізм]]ів ''V'', тобто множина всіх [[бієкція|бієктивних]] [[лінійне відображення|лінійних відображень]] <math>V \to V</math> де груповою операцією є [[композиція функцій|композиція]] відображень . |
Якщо ''V'' — [[векторний простір]] над [[поле (алгебра)|полем]] F, то загальною лінійною групою лінійного простру <math>\operatorname{GL}(V)</math> або <math>\operatorname{Aut}(V)</math> називається група всіх [[автоморфізм]]ів ''V'', тобто множина всіх [[бієкція|бієктивних]] [[лінійне відображення|лінійних відображень]] <math>V \to V</math> де груповою операцією є [[композиція функцій|композиція]] відображень . |
||
Якщо простір ''V'' має скінченну розмірність <math>\dim V = n</math>, то <math>\operatorname{GL}(V)</math> і <math>\operatorname{GL}(n, K)</math> ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів ''V''. Якщо <math>(e_1, \dots, e_n)</math> — базис, і автоморфізмів <math>\operatorname{GL}(V)</math>, маємо |
Якщо простір ''V'' має скінченну розмірність <math>\dim V = n</math>, то <math>\operatorname{GL}(V)</math> і <math>\operatorname{GL}(n, K)</math> [[ізоморфізм|ізоморфні]]. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів ''V''. Якщо <math>(e_1, \dots, e_n)</math> — базис, і автоморфізмів <math>\operatorname{GL}(V)</math>, маємо |
||
:<math>Te_k = \sum_{j=1}^n a_{jk} e_j</math> |
:<math>Te_k = \sum_{j=1}^n a_{jk} e_j</math> |
||
для деяких констант <math>a_{jk} \in K</math>. Матриця, відповідна ''Т'' має елементами <math>a_{jk}</math>. |
для деяких констант <math>a_{jk} \in K</math>. Матриця, відповідна ''Т'' має елементами <math>a_{jk}</math>. |
||
Рядок 51: | Рядок 51: | ||
== Властивості == |
== Властивості == |
||
* Якщо ''n > 2'', то група <math>\operatorname{GL}(n, K)</math> не є абелевою. |
* Якщо ''n > 2'', то група <math>\operatorname{GL}(n, K)</math> не є [[абелева група|абелевою]]. |
||
* <math>\operatorname{SL}(n, K)</math> є нормальною підгрупою <math>\operatorname{GL}(n, K)</math>. |
* <math>\operatorname{SL}(n, K)</math> є [[нормальна підгрупа|нормальною підгрупою]] <math>\operatorname{GL}(n, K)</math>. |
||
* Нехай <math>K^*</math> буде мультиплікативною групою поля ''K'', тоді визначник є гомоморфізмом груп: |
* Нехай <math>K^*</math> буде мультиплікативною групою поля ''K'', тоді визначник є [[гомоморфізм груп|гомоморфізмом груп]]: |
||
*: <math>\det\colon \operatorname{GL}(n, K) \to K^*</math>. |
*: <math>\det\colon \operatorname{GL}(n, K) \to K^*</math>. |
||
* <math>\operatorname{GL}(n, K)</math> є напівпростим добутком <math>\operatorname{SL}(n, K) \rtimes K^*</math> |
* <math>\operatorname{GL}(n, K)</math> є напівпростим добутком <math>\operatorname{SL}(n, K) \rtimes K^*</math> |
Версія за 10:17, 18 липня 2010
Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем.
Формальне визначення
Загальною лінійною групою порядку n називається четвірка , де:
- R є асоціативним кільцем з одиницею,
- — оборотні матриці порядку n над даним кільцем,
- Груповою операцією є множення матриць,
- Зворотним елементом є обернена матриця,
- Одиничним елементом є одинична матриця.
Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.
Векторні простори
Якщо V — векторний простір над полем F, то загальною лінійною групою лінійного простру або називається група всіх автоморфізмів V, тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень де груповою операцією є композиція відображень .
Якщо простір V має скінченну розмірність , то і ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів V. Якщо — базис, і автоморфізмів , маємо
для деяких констант . Матриця, відповідна Т має елементами .
Визначники
Матриця є оборотна над полем F, якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином, може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця R маємо: матриця над R є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в R. Отже, може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.
Спеціальна лінійна група
Спеціальною лінійною групою порядку n над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку n з елементами поля K, визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається .
Примітки
- Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
- Спеціальну лінійну групу можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .
Скінченні поля
Якщо K є скінченним полем з q елементами, іноді використовується запис .
Порядок
Порядок групи
- .
Для прикладу, порядок рівний (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи
Аналогічні формули для :
- .
Властивості
- Якщо n > 2, то група не є абелевою.
- є нормальною підгрупою .
- Нехай буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:
- .
- є напівпростим добутком
Пов'язані групи
Проективна група
Проективна група і проектні спеціальні лінійні групи є фактор-групами і відносно скалярних матриць.
Афінна група
Афінна група — розширення за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпростого добутку:
- . Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.
Література
- Baker A. Matrix groups, an introduction to Lie groups Springer, 2002 ISBN 1852334703