Степеневий розподіл

Приклад графіку степеневого розподілу, який використовується для демонстрації ранжування по популярності. Праворуч Довгий хвіст, ліворуч ті небагато, що домінують (дивіться Принцип 80-20).

В статистиці степеневий розподіл (англ. power law) - це така функціональна залежність між двома величинами, при котрій відносна зміна однієї величини призводить до пропорційної відносної зміни іншої величини, незалежно від початкових значень цих величин: залежність однієї величини від іншої являє собою степеневу функцію. Наприклад, розглянемо залежність площи квадрата від довжини його сторони. Якщо довжина буде збільшена удвічі, то площа збільшиться вчетверо.

Приклади з практики

В багатьох фізичних, біологічних та штучних явищах спостерігаються розподіли, відповідні степеневому закону в різних масштабах: наприклад, розміри лунних кратерів і сонячних спалахів, закономірності харчування різних видів, активність популяцій нейронів, частота вживання слів в більшості мов, розповсюдженність прізвищ, кількість видів в кладах организмів, масштаби аварій в енергосистемах, число карних звинуваченнь на одного злочинця, кількість виверженнь вулканів, людські оцінки інтенсивності стимулів і багато інших величин. Емперичні розподіли можуть відповідати степеневому закону на всьому діапазоні своїх значеннь, або, наприклад, в хвості. Затухання звукових коливань проходить за степеневим законом у широких полосах частот у багатьох складних середовищах. Аллометричні закономірності для відношеннь між біологічними змінними є одними з самих відомих прикладів степеневих законів в природі.

Властивості

Масштабна інваріантність

Для степеневого закона характерна Масштабна інваріантність. Якщо виконується $f(x)=ax^{-k}$, то масштабування аргумента $x$ на постійний коефіцієнт $c$ призведе до пропорційного масштабування самої функциії. Тобто.:

$f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!$

де $\propto$ означає пряму пропорційність. Іншими словами, Множення аргумента на сталу величину $c$ призводить просто до множення значень функції на сталу величину $c^{-k}$. Таким чином, всі степеневі закони с заданим показником ступеню еквівалентні з точністю до множення на константу, оскільки всі вони являють собою лише масштабування версії один одного. Це породжує лінійну залежніст між логарифмами величин $f(x)$ и $x$, і пряму лінію на графику у подвійному логарифмічному масштабі (log–log), яку часто вважають характерною ознакою степеневого закону. В реальных даних ця ознака є необхідною, але не достатньою, щоб зробити висновок щодо наявності степеневого закону. Існує багато способів згенерувати кінцеві об'єми даних, що імітують відповідність степеневому закону, але відхиляющихся від нього в асимптотичній межі (наприклад, якщо процесс генерації даних підпорядковується логнормальному розподілу). Перевірка моделей на відповідність степеневому закону є актуальною областю досліджень в статистиці, див. нижче.

Відсутність строго визначенного середнього значення

Степеневий закон $x^{-k}$ має строго визначене середнє значення при $x\in [1,\infty )$, тільки якщо $k>2$, і має кінцеву дисперсію, тільки якщо $k>3$. Для більшості відомих степеневих законів в природі значення показника ступеню такові, що середнє значення є строго визначенним, а дисперсія ні, тому для них існує можливість виникнення подій типу «чорный лебідь». Це можно показати на прикладі наступного уявного експерименту: уявіть себе в кімнаті з друзями і оцініть середньомісячний доход у цій кімнаті. Тепер уявіть, що в цю кімнату увійшла сама заможна людина у світі з місячным доходом близько 1 мільярда US$. Як зміниться значення середньомісячного доходу в кімнаті? Розподіл доходів підпорядковується степеневому закону, відомому як розподіл Парето (наприклад, капітали американців, розподіленні за степеневим законом з показником ступеню 2).

С одного боку, це не дозволяє коректно застосовувати традиційну статистику, засновану на дисперсії і середньоквадратичному відхиленні (наприклад, регресійний аналіз). З іншої сторони, це дозволяє здійснювати ефективне по витратам втручання. Наприклад, нехай вихлопні гази автомобілів розподіленні по степеневому закону серед автомобілів (тобто більшість забруднень здійснюється дуже невеликим числом автомобілів). Тоді буде достатньо прибрати з дорог цю невелику кількість автомобілів, щоб суттєво знизити цю кількість вибросів.

Медіана існує: для степеневого закону x ^–k с показником ступеню $k>1$ вона приймає значення 2^{1/(k – 1)}x_min, де x_min – це мінімальне значення, для якого виконується степеневий закон

Універсальність

Еквівалентність степеневого розподілу з особливою масштабною експонентою може скоріше мати пояснення в теорії динамічних процесів ніж виводитися с відношень степеневого розроділ. В фізиці, наприклад, фазовий перехід в термодинамічних системах асоціюється з появою степеневого розподілу деяких величин, експоненти відносяться до критичних індексів системи. Різні системи з однаковими критичними індексами—це ті, що демонструють ідентичну поведінку при наближенні до критичного значення—може буди продемонстрована за допомогою теорії ренормалізаційних групп, поділяти однакову фундаментальну динаміку. Наприклад, поведінка води та CO₂ в їх точках кипіння потрапляє в однакові класс універсальності тому що вони мають однакові критичні індекси.^{[джерело?][прояснити]} По факту, майже вся суть фазових переходів описана невеличкою множиною класів універсальності. Подібні спостереження були зроблені, хоча й не так всеосяжно, для різної самоорганізованої критичних систем, де критичні точки систем це атрактор. Формально, цей динамічний обмін відноситься до універсальності універсальності, і системи з точно такими ж критичними індексами називаються тими, що належать класу універсальності.

Функції степеневого розподілу

Науковий інтерес до відношень степеневого розподілу частково випливає з легкості, з якою деякі основні механізми класів їх генерують. Демонстрація відношень степеневого розподілу на деяких данних може указати на специфіку поведінки механізмів що можуть лежати в основі природного феномену в цьому питанні, та може визначати глибокі зв'язки з іншими, здавалося ніяк не пов'язаними системами; дивіться також універсальність вище. Всюдисущність відношень степеневого розподілу в фізиці частково виходить з методу аналізу розмірностей, у той час як в складних системах, степеневий розподіл має під собою сигнатуру ієрархій або специфічних випдкових процесів. у доволі рідких випадках степеневий розподіл є розподілом Парето, структурна подібність фракталів, та вимірювальних законів в білогічних системах. Дослідження походження відношень степеневого розподілу, та намагання дослідити та довести їх в реальному житті, це актуальна тема у багатьох галузях науки, включаючи фізику, комп'ютерні науки, мовознавство, геофізику, нейронауку та інші.

Однак, найбільший інтерес до степеневого розподілу виходить з розподілу ймовірностей: розподіл великої кількості різноманітних велечин здається виводиться з формул степеневого розподілу, принаймні в верхній частині(значні події). Поведінка цих значних подій прив'язує ці велечини до вивчення теорії екстремальних значень , яка розглядає частоти вкрай рідкісних подій як біржовий крах та великі стихійні лиха. Це головним чином вивчення статистичних процесів названих "степеневим розподілом".

В емперічному контексті, апроксимація в степеневому розподілі $o(x^{k})$ зазвичай включає відхилення момента $\varepsilon$, яка може представлятися невизначеністю в спостережених данних (можливість виміру або помилки вибірки) або прокладує простий шлях до спостереження відхиленнь з функціеє степеневого розподілу (можливо для випдкових процесів):

$y=ax^{k}+\varepsilon .\!$

Математично, строгий степеневий розподіл не може бути розподілом ймовірностей, але розподіл представлений усіченою степеневою функцією можливий: $p(x)=Cx^{-\alpha }$ for $x>x_{\text{min}}$ де експонента $\alpha$ більше ніж 1 , мінімальне значення $x_{\text{min}}$ потребує іншого розподілу що має нескінченну площу x наближаючись до 0, та константа C це вимірювальний фактор для забеспечення того що, вся площа буде рівнятися 1, як необхідна умова розподілу ймовірностей. Частіше використовується асимптотичний степеневий розподіл – який вірний тільки в межі; дивіться розподіл ймовірностей степеневого розподілу для більших деталей. Типова експонента спадає в межах $2<\alpha <3$, хоча не завжди

Посилання

Примітки

Бібліографія

• Bak, Per (1997) How nature works, Oxford University Press ISBN 0-19-850164-1
• Clauset, A.; Shalizi, C. R.; Newman, M. E. J. (2009). Power-Law Distributions in Empirical Data. SIAM Review. 51 (4): 661—703. arXiv:0706.1062. Bibcode:2009SIAMR..51..661C. doi:10.1137/070710111.
• Laherrère, J.; Sornette, D. (1998). Stretched exponential distributions in nature and economy: "fat tails" with characteristic scales. The European Physical Journal B. 2 (4): 525—539. arXiv:cond-mat/9801293. Bibcode:1998EPJB....2..525L. doi:10.1007/s100510050276.
• Mitzenmacher, M. (2004). A Brief History of Generative Models for Power Law and Lognormal Distributions (PDF). Internet Mathematics. 1 (2): 226—251. doi:10.1080/15427951.2004.10129088.
• Alexander Saichev, Yannick Malevergne and Didier Sornette (2009) Theory of Zipf's law and beyond, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Volume 632, Springer (November 2009), ISBN 978-3-642-02945-5
• Simon, H. A. (1955). On a Class of Skew Distribution Functions. Biometrika. 42 (3/4): 425—440. doi:10.2307/2333389. JSTOR 2333389.
• Sornette, Didier (2006). Critical Phenomena in Natural Sciences: Chaos, Fractals, Self-organization and Disorder: Concepts and Tools. Springer Series in Synergetics (вид. 2nd). Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-30882-9.
• Mark Buchanan (2000) Ubiquity, Weidenfeld & Nicolson ISBN 0-297-64376-2
• Stumpf, M.P.H.; Porter, M.A. (2012). Critical Truths about Power Laws. Science. 335 (6069): 665—6. Bibcode:2012Sci...335..665S. doi:10.1126/science.1216142. PMID 22323807.